Zeichen des Erfolgs

 Achte  während deiner Arbeit auf Zeichen des Erfolgs.

Zeichen des Erfolgs : du kannst alle Daten und Bedingungen des
Problems einbinden.

Deine Arbeit geht zügig voran und die günstigen Zeichen werden
häufiger. Solche Zeichen können unsere Handlungen leiten.
Anderseits kann uns ihr Fehlen vor einer Sackgasse warnen und
uns Zeit und unnütze Anstrengung ersparen.

die erwarteten Singularitäten treten auf (bei Fehlern treten sie gar
nicht oder an falscher Stelle auf !)

Ausdrücke lassen sich vereinfachen ! Fehlerhafte Ausdrücke
            lassen sich fast nie vereinfachen.

dein Lösungsgang entwickelt sich analog zu einer verwandten
(von dir früher gelösten) Aufgabe.


 

 

Es ist ein Zeichen des Erfolgs , wenn dein Ergebnis
mit den Bedingungen des Problems kompatibel ist.


Das unbestimmte Integral I(x) der Funktion f(x) muß mit

der Definitionsgleichung dI(x)/dx = f(x) kompatibel sein !

Bei Gleichungen ist eine Kompatibilitätsprüfung
einfach : Setze deine “Lösung” ein ! Leider weißt
du nicht , ob dein Ergebnis vollständig ist ! Es
kann mehrere Lösungen geben. Das ist ein Manko
            der Einsetzmethode.

Doch das ist oft gar nicht das Problem. Lösungen
lassen sich oft gar nicht durch Einsetzen prüfen :

Eine homogene Bierdose der Höhe H wird leer-
getrunken. Wie ändert sich die Schwerpunkts-
höhe s der Dose mit der Höhe h des Bierpegels ?
Ist die “Lösung” s = (h 2 + (H - h) 2 ) / (2 H)
      kompatibel mit den Bedingungen?

Der Schwerpunkt der vollen Bierdose liegt bei
s = H/2. Wird Bier getrunken, fällt der Bierpegel
und damit s. Da jedoch der Schwerpunkt der
leeren Bierdose wieder in der Mitte der Dose
also bei s = H/2 liegt , muß s beim Austrinken
          am Ende wieder ansteigen.

  Plausibilität

Es gelingt dir nicht , dein Ergebnis zu verifizieren oder falsifi-
zieren? Erscheint es dir wenigstens plausibel ?

G. Polya hat in „Mathematik und plausibles Schließen“ auf die
große Bedeutung des plausiblen Denkens hingewiesen.

Plausibles Denken versucht die Nachteile des unkontrollierten
(natürlichen) wie auch des logischen Denkens zu vermeiden !

Durch einen Punkt P(a,b) im ersten Quadranten wird eine
Gerade der Steigung -m (m > 0) gelegt. Wie groß muß m sein ,
damit der Abschnitt der Gerade zwischen den Koordinaten-
achsen möglichst klein wird ?

Die Lösung m3 = b/a ist plausibel : je größer a desto größer
m ; je kleiner b desto kleiner m ; bei der Vertauschung von
a und b geht m in 1/m über ; Extremfälle a= 0 , b ≠ 0 ;
b = a , a ≠ 0 ; Spezialfall a = b.

Ein Ergebnis ist plausibel , wenn es groben Abschätz-

ungen entspricht. Nach Murphys laws wäre ein große

Abweichung unwahrscheinlich.

In einer halbkugelförmigen Tasse mit Radius r liegt ein

aus der Tasse herausragender Strohhalm der Länge s > 2 r .

Ist die Formel 16 r cos φ = s + √ (s2 + 128 r2) für den

Horizontalwinkel φ des Strohhalms plausibel ?

für s = 4 r ergibt sich φ = 0 Labiles Gleichgewicht
für s = 2 r wird cos φ = 0.8 Das ist glaubhaft !
für s > 4 r wird cos φ > 1 : keine Gleichgewichtslage.

 

 

 Grenzfälle

Es ist ein Zeichen des Erfolgs , wenn sich eine Formel auch
in gewissen Grenzfällen bewährt !

Aus der Formel Wkin = (m – m0) c2 , ( m2 = m02 /(1-v2/c2)) für
die kinetische Energie nach Einstein ergibt sich im Grenzfall
kleiner Geschwindigkeiten v<< c (c =lichtgeschwindigkeit) die
           bekannte Formel Wkin = m v2 /2.

Zwischen zwei in gleicher Höhe befindlichen Aufhängepunkten
im Abstand s sei ein Seil mit dem Durchhang a gespannt. Die
       Länge des Seils ergibt sich zu l = a sinh(s/a).
Für den Grenzfall eines sehr kleinen Durchhangs a ergibt sich
          l = a s / a = s was offensichtlich richtig ist.

Die Fallstrecke s eines Steins in Luft als Funktion der Fallzeit t
ist : s(t) = ln (cosh (sqrt(bg) t) /b. Hierbei ist b eine von der
                Luftreibung abhängige Konstante.
Für den Grenzfall vernachlässigbarer Luftreibung ergibt sich
             s(t) = g/2 t2 das bekannte Fallgesetz !

 

 

                   Erwartete Symmetrien treten auf

Das Auftreten erwarteter Symmetrien ist ein Zeichen des Erfolgs :
durch Rechenfehler werden Symmetrien fast immer zerstört !

In die Formel für die Fläche A = 0.5 r (a + b + c + d) eines
Tangentenvierecks mit den Seiten a , b , c , d um einen Kreis
mit Radius r gehen die Seiten a , b , c , d symmetrisch ein.

In den Ausdruck π h (R2 + R r + r2) / 3 zur Volumenberechnung
eines Pyramidenstumpfs der Höhe h gehen der Deckkreisradius r
und der Grundkreisradius R symmetrisch ein.

Wo liegt der Schnittpunkt der Gerade mit den Gleichungen
     x / a + y / b = 1 und x / c + y / d =1 ? Zeigen sich die
             erwarteten Symmetrien ?

Viele Leute waren schon immer von Symmetrien fasziniert.
Werner Heisenberg wollte aus allgemeinen Symmetrieprinzip-
ien sogar eine „Weltformel“ herleiten !

 

 

              Erwartete Singularitäten treten auf

Das Auftreten erwarteter Singularitäten ist ein Zeichen des
Erfolgs. Im Falle von Rechenfehlern treten diese oft gar
nicht mehr oder an anderer Stelle auf !

Die Gerade mit der Gleichung x/a + y/b =1 durch den Punkt
P(1,2) schneidet aus dem ersten Qudranten eines kartesischen
Koordinatensystlems die Fläche A = a2 / (a -1) aus. War die
                Singularität bei a = 1 zu erwarten ?

Die Funktion arcsin(x) ist singulär an den Stellen x = +- 1 ,
deshalb muß dort auch ihre Ableitung singulär sein !

Singuläre Funktionen besitzen meist ein singuläres Integral.
              Beispiel integral tan(x) dx = - ln abs(cos x).

Treten auf beiden Seiten der Gleichung tan(2 x) =
         2 tan x (1 - tan2 x) dieselben Singularitäten auf ?

 

 

  Es ist ein Zeichen des Erfolgs , wenn das
das Ergebnis deinen Erfahrungen entspricht

Unter welchem Winkel α mußt du einen Stein
abwerfen , um auf einem Hang mit Neigungs-
winkel β möglichst große Wurfweite zu erzielen ?

Entspricht die Lösung tan 2α = -1/tan β deinen
                   Erfahrungen ?


Für β = 0 (horizontaler Hang) ergibt sich der
           bekannte Wert α = 45°.

Für β = 45° ergibt sich α = 67.5° : am steigenden
     Hang muß steiler geworfen werden.

Für β = -45° ergibt sich α = 22.5° : am fallenden
       Hang muß flacher geworfen werden.