Lokalisierung von Fehlern

Hast du festgestellt , daß dein Ergebnis falsch ist ,
mußt du den Fehler erst einmal lokalisieren.

Das Problem ist , daß einmal gemachte Fehler nicht
so leicht zu entdecken sind , da jeder dazu neigt ,
einen eimal begangenen Fehler zu wiederholen.

Was kannst du tun , um deine Fehler möglichst
schnell und mit wenig Aufwand zu lokalisieren ?

Gängige Methoden sind die Lokalisierung durch
Spezialisierung , durch Vorwärts- bzw Rückwärts-
        analyse und durch Visualisierung.

Durch Lokalisierung ist der Fehler zwar noch nicht
behoben. Die Erfahrung zeigt , daß lokalisierte
Fehler im allgemeinen leicht zu beheben sind.

Hat es nicht geklappt , solltest du erst mal abwarten
und dich nicht ins Problem verbeißen ! Du findest
Fehler leichter , wenn du Abstand gewinnst !

 

          Lokalisierung durch Spezialisierung

Das Rechnen mit algebraischen Symbolen ist tückisch.
Erkennst du bei der Betrachtung eines Spezialfalls , daß
du einen Fehler gemacht hast , mußt du nur deinen
Rechengang für den gewählten Spezialfall verfolgen !
Der Fehler muß (!) irgendwo auftauchen.

(a - b)3 = (a - b) (a - b)2 = (a - b) (a2 - 2a b + b2)
= a3 - 2a2b + ab2 - a2b - 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b - ab2 - b3 ?
Am Spezialfalls a = b = 1 erkennst du , daß das Ergebnis
falsch ist. Verfolge die Zwischenschritte mit Hilfe
dieses Spezialfalls. Wo tritt der Fehler auf ?

Genauso kannst du den Fehler bei der Bestimmung der
Umkehrfunktion der Funktion f(x) = (x- 2) / (x + 1)
                                 lokalisieren :

Aus y = (x - 2) / (x + 1) (1) folgen die Gleichungen
y ( x + 1) = x - 2 (2)  , x y + x = 2 + y (3)
x (y + 1) = 2 + y (4) , x = (2 + y) / (1 + y) (5)

Setzt du x = 3 in (1) ein , erhältst y = 1 /4 . Setzt du
diesen y-Wert in (5) ein , erhältst du aber x = 9/5 !
Verfolge den Rechengang mit x = 3 und y = 1 / 4 !
Der Fehler muss in einer der Gleichungen (2) bis (5)
auftauchen , da ja das Endergebnis falsch ist !

Gleichung (2) ist erfüllt , aber bereits Gleichung (3)
nicht mehr. Der Fehler muß also beim Übergang von
Gleichung (2) nach Gleichung (3) entstanden sein !

 

     Fehlerlokalisierung durch Vorwärtssuche

Du suchst deinen Fehler , indem du alles nochmals
von anfang bis ende durchgehst. Leider nützt es oft
nichts , eine längere Rechnung mehrmals durchzu-
gehen. Du machst den gleichen Fehler wieder !
die Vorwärtsanalyse ist ein divergierender Prozess :
sie arbeitet vom gegebenen zum Ziel hin, das
natürlich verfehlt werden kann.

Du solltest jeden Schritt überprüfen , ob er wirklich
zwingend ist oder ob du einem vorschnellen Schluß
zum Opfer gefallen bist ! (irrevesible Reduktion)

Für welche a und b -Werte gilt die Ungleichung
a/b + b/a > 2 (1) ? Aus (1) folgt a2 + b2 > 2 a b (2) ,
a2 - a b > a b - b2 (3) , a (a - b) > b (a - b) (4) ,
        a > b (5) gilt nur wenn a > b !
Wie lautet die richtige Antwort ?

Solltest du deine Rechenschritte mehrfach kritisch
überprüft haben , ohne den Fehler zu finden , bist
mit einer Vorwärtssuche am Ende deines Lateins !
Du mußt andere Methoden zur Lokalisierung des
Fehlers verwenden z. B. eine Rückwärtssuche .

 

   Fehlerlokalisierung durch Rückwärtssuche

Trotz intensiver Suche findest du keinen Fehler ?
Geh vom falschen Ergebnis aus und arbeite rück-
wärts , auch wenn das gewöhnungsbedürftig ist :

Ein Fahrzeug startet zur Zeit t = 0 und wird nach
a(t) = 2 -t2 / 2 beschleunigt. Nach welcher Zeit
t > 0 kommt es zur Ruhe ? Welche Wegstrecke s
hat es bis dahin zurückgelegt ?
v(t) = 0t a(t) dt = 2 t - t2/4 (2) , d.h. das Fahrzeug
        kommt zur Zeit t = 8 zur Ruhe.
s(t) = 0t v(t) dt = t2 – 3 t3/4 (3) d.h. s(8) = - 320 ,
was sichtlich falsch ist (s(8) muß > 0 sein) !

Geh vom falschen Ergebnis und arbeite rückwärts :
Aus s(t) = t2 - 3 t3/4 folgt v(t) = ds/dt = 2 t - 9 t2/4.
Dies ist von Formel (2) verschieden. Der Fehler ist
bei der Integration (Formel 2) passiert! Korrektur :
s(t) = t2 – t3/12 : s(8) = 64/3 > 0 !

Bei der Vorwärtssuche hättest du den Fehler wahr-
scheinlich nicht entdeckt. Trotzdem lassen sich
die meisten Leute nicht von einer Vorwärtssuche
abhalten ! Dabei ist die Rückwärtssuche in vielen
        Fällen das kompetentere Verfahren.

 

    Lokalisierung durch Visualisierung

Kannst du eine Problemstellung visualisieren ,
läßt sich der Fehler meist schnell lokalisieren !

Typisch ist die Berechnung der Fläche zwischen
                       zwei Kurven.
Stellst du die Kurven grafisch dar , siehst du
schnell ob der Fehler bei der Berechnung der
Schnittpunkte oder bei der Berechnung des
Integrals passiert ist.