Widersprüche

gehören zur Mathematik wie der Teufel zur
katholischen Kirche. Sie sind für manchen
Mathematiker eine Horrorvorstellung.
Prüfer haben Angst , widersprüchliche
Aufgaben zu stellen.

Die Angst der Mathematiker vor Wider-
sprüchen zeigt neurotische Züge. Sie sollten
den Ausspruch Hegels „Etwas ist lebendig
nur insofern es Widersprüche in sich enthält“
verinnerlichen und daran denken , daß auch
die Mathematik von These und Antithese ,
d.h. vom Widerspruch lebt.

Aus Widersprüchen kannst du viel lernen !
Sie sind oft hausgemacht : du hast falsche
Ansätze gemacht , voreilige Schlüsse gezo-
gen , die Aufgabe falsch formalisiert oder
Lösungen zu stark eingeschränkt.

Der Mathematiker Andre Weil sagte :
Gott existiert , weil die Mathematik wider-
spruchsfrei ist , und der Teufel existiert ,
weil wir das nicht beweisen können“.

Widerspruch in Gleichungen 

Um das System 2 x2 + 8 x + y2 + 8 y = 6
und 3 x2 + 6 x + 2 y2 + 4 y = 1 zu lösen ,
ziehst du die erste Gleichung von der
zweiten ab : x2 - 2 x + y2 - 4 y = -5
woraus du (x - 1)2 + (y - 2)2 = 0 erhältst.
Leider erfüllen x=1 , y=2 keine der
beiden Gleichungen !

Es ist unmöglich , Zahlen a , b , c , d , e , f
so zu bestimmen , daß die Gleichung
x2 + y2 + z2 = (a x + b y + cz)(d x + e y + f z)
identisch für die voneinander unabhängigen
Größen x , y , z gilt.

Widersprüche können sich auch ergeben ,
wenn du Lösungsmengen zu stark
einschränkst :

Aus den partiellen Ableitungen
∂f/∂x = 2 x y + y3 + 4 x2 und
∂f/∂y = x2 + 3 x y2 - 5 y4 folgerst du ,
dass f(x,y) = x2 y + x y3 + x4 bzw
f(x,y) = x2y +x y3 - y5 ist. Widerspruch !
Welchen Fehler hast du begangen ?

 

Lernen aus Widersprüchen

Nur wenige Bücher beschäftigen sich damit ,
wie man aus Widersprüchen lernen kann !

Eine Ausnahme ist der “FehlerBeschwörer”
von Attila Furdek. Furdek beschränkt sich
auf das schulische Matheniveau. Er weist
im Vorwort auf folgende Punkte hin :

Fast alle Mathebücher enthalten nur fehler-
freie Lösungen; sie vermitteln unabsichtlich
eine falsche Botschaft : Es wird ignoriert ,
daß der Weg zu richtigen Ergebnissen häufig
voller Fehler steckt.

Fehler können zwar niemals ganz vermieden
werden , lassen sich aber durch gezielte
Übungen stark reduzieren.

In Kap 1 werden typische Fehler beschrieben.
Es werden Widersprüche erzeugt und der
Leser zum Auffinden des Fehlers aufgefordert.

In Kap 2 werden die Fehler von Kap 1
lokalisiert und korrekte Lösungen angegeben.
Ergänzende Beispiele dienen der Vertiefung.

In Kap 3 soll der Leser Widersprüche ohne
direkte Hilfe klären. Jedoch geben die
Beispiele aus Kap 1 und 2 indirekte Hilfe.

Fazit : Schlaue Leute werden durch Fehler
anderer klug ! die meisten Mathebücher
vertun diese Chance...