Bevor du beginnst

   und losrechnest , mußt du bestimmte Vorarbeiten
erledigen. Du mußt den Kontext erfassen , dich um die
Definitionen der vorkommenden Größen kümmern...
Frage dich auch , ob du die Aufgabe verstanden hast.

Eine gute Notation ist oft entscheidend : durch sie ergibt
ergibt sich oft die Problemlösung fast von alleine !

Behauptung : Jede ungerade natürliche Zahl n ( von 3 ab )
ergibt mit sich selbst multipliziert stets ein Vielfaches
von 8 mit Rest 1 ! Beispiel : 3 x 3 = 9 = 8 + 1

Notation : m = 2 n + 1 : (2 n + 1)(2 n + 1) = 4 (n2 + n) + 1
n2 + n ist in jedem Fall eine gerade Zahl : daraus folgt die
                             Behauptung.

Viele Probleme kannst du nur lösen , wenn du sie vorher
formalisierst , d.h.in die Sprache der Mathe übersetzt !
        Welche Unbekannte benötigst du hierzu ?

 

Hast du den Kontext erfaßt ?

Probleme sind in einem bestimmten Kontext
(Umfeld) angesiedelt. Wenn du ein Problem
richtig , d.h. im Sinne des Problemstellers
lösen willst , mußt du dessen Hintergründe
und die Persönlichkeit des Problemstellers
kennen.

Der Parameter t in der Parameterdarstellung
x = a cos t , y = b sin t einer Ellipse darf nicht
(wie es die Winkelfunktionen nahelegen) als
Zentriwinkel in einem kartesischen Koordi-
natensystem gedeutet werden !

Bei Schnittpunktsbestimmung der Gerade
x = (1,2) + t (3,-1) , y = (4, 2) + t (2, 1) mußt
du beachten , dass der Parameter t in unter-
schiedlichem Kontext auftritt !

Ein Mann wurde nach schwerem Unfall in ein
Hospital eingeliefert. Als er nach der OP auf-
wacht , fragt er die Krankenschwester : „did
you bring me here to die ?“ Diese antwortet :
„No , we brought you here yesterday !“

Du mußt das Problem präzisieren

2 Sportschützen A und B treffen eine bestimmte
Ringzahl mit den Wahrscheinlichlkeiten :
Ringzahl     0    1      2     3     4      5        6
Schütze A   0  0.05  0.1  0.2  0.2   0.2   0.25
Schütze B   0  0.05 0.05 0.2  0.25  0.25  0.2
Frage : welcher Schütze ist „treffsicherer“ ?

Achtung : diese Aufgabe läßt keine eindeutige
Antwort zu ! Der Begriff „treffsicher“ muß präzi-
siert werden , z.B. im Sinne des Erwartungswertes.

In einen Kreis wird „auf gut Glück“ eine Sehne
gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p ,
daß sie größer ist als die des einbeschriebenen
gleichseitigen Dreiecks ?

Je nachdem , wie du „auf gut Glück“ auslegst ,
kannst du zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen
kommen : p = 1/3 , p = 1/2 oder sogar p = 1⁄4.
(probiere es selbst aus !)

 

Übersetze das Problem in die Spache der Mathe

Umgangssprachlich formulierte Probleme mußt du
in die Sprache der Mathematik übersetzen. Dabei
gehst du immer ein gewisses Risiko ein :

Ermittle das Spiegelbild der Parabel y = x2 an den
Geraden x = 2 , y = x und y = 3 ! Kontrolliere
dein Ergebnis durch Skizzen !

Die Summe einer Schrägzeile im Pascalschen
   1
  1     1
     1    2    1
    1    3     3    1
     1    4      6     4    1
Dreieck ergibt das schräg darunter stehende
Element. Beispiel : 1 + 2 + 3 = 6.

Formuliere die Aussage mit Hilfe des Sum-
menzeichens ∑ ! Test für mehrere Beispiele !

Goethe : „Die Mathematiker sind eine Art
Franzosen , redet man zu ihnen , so übersetzen
sie es in ihre Sprache , und alsbald ist es etwas
ganz anderes“.

Hast du das Problem verstanden ?

Wenn du etwas nicht wirklich verstanden hast ,
wirst du eine Menge Fehler begehen !

Doch Verstehen allein genügt nicht : Du mußt
das Verstandene einüben ! Das kannst du dir
nur sparen , wenn du ein Genie bist ! Es droht
sonst die Gefahr , daß du das Verstandene bis
zur Klausur wieder vergessen hast !

John v. Neumann gestand : „In Mathematik
versteht man die Dinge nicht. Man gewöhnt
sich nur an sie“

Du kannst erst dann sicher sein , eine Aufgabe
verstanden zu haben , wenn du sie mit eigenen
Worten anderen (das kann auch ein virtuelles
Gegenüber sein) erklären kannst !

Paradoxie des Verstehens : Das Ganze kannst
du nur verstehen , wenn du die Einzelheiten
verstanden hat. Du kannst die Einzelheiten nur
verstehen , wenn du das Ganze verstanden hat.

Einstein sagte : „Seit die Mathematiker in die
Relativitätstheorie eingedrungen sind verstehe
ich sie selbst nicht mehr.“

 

      Versuche das Problem zu formalisieren

Der Philosoph Hans Reichenbach hat die Kraft der
Formalisierung an folgendem Problem aufgezeigt :

Wenn Peter 5 Jahre jünger wäre , wäre er zweimal
so alt wie Paul war , als er 6 Jahre jünger war.
Wenn Peter 9 Jahre älter wäre , wäre er dreimal so
alt wie Paul , wenn Paul 4 Jahre jünger wäre.
       Wie alt sind Peter und Paul derzeit ?

Reichenbach : „Wenn man das im Kopf lösen soll
und alle „wenns“ berücksichtigt , wird einem bald
schwindelig wie auf einem Karussell“. Das will
etwas heißen ,wenn ein so scharfsinniger Denker
              wie Reichenbach das sagt.

Wenn man statt dessen Bleistift und Papier nimmt ,
Peters Alter x und Pauls Alter y nennt , die sich
daraus ergebenden Gleichungen niederschreibt und
auflöst , sieht man , wozu formalisierung gut ist :
x - 5 = 2( y - 6 ) , x + 9 = 3( y - 4 ), x = 21 , y = 14

Durch Formalisierung von Sachverhalten wird dir
also viel Denkarbeit abgenommen !