Verifikation light

Es ist meist leicht , falsche Ergebnisse zu falsifizieren ,
aber oft schwierig , richtige Ergebnisse zu verifizieren.

Verifikation light bedeutet , ein gewisses Restrisiko in
Kauf zu nehmen , weil die Zeit in Klausuren knapp ist.
Leider lassen Mathematiker nur Beweise gelten. Sie
akzeptieren keine wahrscheinlich richtigen Ergebnisse.

Mit folgenden Methoden kommst du schnell ans Ziel :
Verifikation durch Untersuchung von Extremfällen ,
   Verifikation durch lokale Approximation ,
      Verifikation durch Indizienbeweise sowie
         Verifikation mit Hilfe deiner Erfahrung
                

 

 Verifikation durch Extremfälle

Ergebnisse , die sich auch in Extremfällen bewähren
             sind ziemlich sicher richtig !

Die Formel d2 = │bx1 + ay1 – ab│ / (a2 + b2) für den
Abstand d des Punktes P1(x1 , y1) von der Gerade mit der
Gleichung x/a + y/b = 1 kann mit Hilfe der Extremfälle
a → ∞ und b → ∞ verifiziert werden ! Gilt die Formel
auch für die Spezialfälle a = 0 , b = 0 und P1 auf g ?

Extremfälle helfen sogar bei Formeln , deren Verifikation
         mit anderen Methoden aufwändig ist :

Die Formel 01 dx/(1 + 2 x cos β + x2) = β/ (2 sin β)
(0 < β < π/2) kann durch Betrachtung der Extremfälle
       x → 0 und x → π/2 verifiziert werden.

Im Dreieck mit Seiten a , b , c (s = (a + b + c)/ 2) und
dem der Seite b gegenüberliegenden Winkel β gilt der
  Halbwinkelsatz tan2(β/2) = (s - a)(s - c) / (s (s - b)).
Verifiziere den Satz durch Betrachtung der Extremfälle
                s = a , s = b und s = c !

 

 

         Verifikation durch Indizienbeweise

In Klausuren hast du keine Zeit , deine Ergebnisse streng
             mathematisch zu beweisen !

Lege weniger strenge Maßstäbe an , ohne auf
eine Verifikation deiner Ergebnisse ganz zu verzichten.

Denke an im Gerichtssaal übliche „Beweismethoden“ :
Sind die Indizien , dass ein Angeklagter ein bestimmtes
Verbrechen begangen hat „erdrückend“ , wird dieser
           kraft Indizienbeweis verurteilt.

Indizienbeweise sind in der Praxis völlig ausreichend.
Nur selten stellen sie sich im Nachhinein als falsch
     heraus (ebenso selten wie Justizirrtümer).

Im Laufe der Zeit bekommst du ein Gespür dafür ,
welche Indizien jeweils „beweiskräftig“ sind !

Ratschlag : Führe nur solche Indizienbeweise , die
du in 10 % der Zeit erbringen kannst , welche dich
      die Lösung des Problems gekostet hat !

Der Inkreiradius eines Dreiecks mit Seiten a, b , c sei r.
Welche Indizien (mehrere angeben !) sprechen für die
Richtigkeit der Formel s2 r2 = (s - a) (s - b) (s - c) ?
               Hierbei ist s = (a + b + c) / 2.

Die Ellipse x2/a2 + y2/b2 =1 schneidet aus der Gerade
        u x + v y = 0 ein Stück der Länge s aus.

Welche Indizien (Spezialfälle , Dimension...) sprechen
für die Formel s2 = 4 a2 b2 (u2 + v2) / (a2 u2 + b2 v2) ?

 

 

        Verifikation durch lokale Approximation

Was kannst du tun , wenn dein Ergebnis für Spezialfälle
stimmt , du aber nicht weißt , ob es allgemein richtig ist ?

Führe eine lokale Approximation durch : wenn eine Formel
auch in der Umgebung bestimmter Spezialwerte stimmt ,
          ist sie höchstwahrscheinlich richtig !

Die Formel sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β gilt für
β = 0. Für β ≈ 0 gilt sin(α + β) ≈ sin α + cos α β und
sin α cos β + cos α sin β ≈ sin α + cos α β , da cos β ≈ 1
                               und sin β ≈ β.

Die Formel 0 x e-a x sin bx dx = 2 a b / (a2 + b2)2 gilt
b = 0. Führe eine lokale Approximation für b ≈ 0 durch !
          (Hinweis : 0 x2 e-a x dx = 2)

 

 

      Verifikation aufgrund von Erfahrungen

Dein Erfahrungsschatz ist ein wertvolles Potential
    bei der Verifikation deiner Ergebnisse !

Unter welchem Winkel α muß ein Stein abgeworfen
werden , um auf einem Hang mit Neigungswinkel β
              möglichst weit zu werfen ?

Entspricht die Lösung tan 2 α = - 1 / tan β deinen
                       Erfahrungen ?

Spezialfall β = 0 (horizontaler Hang) : es ergibt sich
                der bekannte Wert α = 45°.

Spezialfall β = 45° : α = 67.5° : das entspricht der
                  Erfahrung , dass am steigenden Hang
                      steiler geworfen werden muß.

Spezialfall β = - 45° : α = 22.5° : das entspricht der
                    Erfahrung , dass am fallenden Hang
                        flacher geworfen werden muß.