Überraschungen

sind allgegenwärtig : Oft tritt etwas ein , was du
nicht erwartet hast. Umgekehrt erwartest du etwas ,
was nicht eintritt.

Du bist überrascht , wenn redundante Größen
auftreten , du zu wenig oder zu viele Gleichungen
hast , oder wenn Paradoxien und Widersprüche
auftreten !

Zwei Affen schauen von entgegengesetzten Seiten
durch eine 2 m lange Röhre mit 35 cm Durchmesser.
Die Affen sind nicht blind , aber sie sehen sich nicht ,
obwohl die Sonne scheint und die Röhre nicht
verstopft ist !
Lösung : Sie schauen nicht zur gleichen Zeit durch die
Röhre !

 

Komplikationen

Du wirst überrascht , wenn du die Lösung der
Ungleichung 2 < (1 + x)/(x – 2) auf die Lösung
der Gleichung 2 = (1 + x)/(x -2) zurückführst
und nicht daran denkst , daß die Funktion
(1 + x)/(x – 2) eine Polstelle hat !

Ingenieure und Wissenschaftler arbeiten mit
mathematischen Gleichungen ! Sie sollten erst
denken , bevor sie Gleichungen aufschreiben !

Die berühmte Tänzerin Isadora Duncan wollte ,
daß sie der berühmte Dichter George Bernard
Shaw heiratet. Sie schwärmte : „Stellen Sie sich
das Kind vor , das so intelligent wie Sie und so
schön wie ich wäre!“ „Ja,ja“, sagte Shaw,
„aber welche Kalamität , wenn das Kind so
schön wie ich und so intelligent wie Sie wäre“.

 

Paradoxien

begegnen uns auf Schritt und Tritt : Ein Klassiker
ist die Zenonsche Paradoxie von Achilles und der
Schildkröte , die durch einen Trick (Analysis) über-
wunden , aber nicht beseitigt wurde (auch wenn
Schullehrer anderes behaupten).

Das Geburtstagsparadoxon besagt , daß 2 von 23
Personen (ohne Beachten des Jahrgangs) mit
einer Wahrscheinlichkeit von über 50% am glei-
chen Tag Geburtstag haben.

H. Meschkowski betont im Buch “Mathematik
als Bildungsgrundlage” die Bedeutung von
Paradoxien...

F. Dürrenmatt hat sich im Drama „Die Physiker“
ausführlich mit Paradoxien beschäftigt :
“Paradoxe Geschichten sind zwar grotesk aber
nicht absurd (sinnwidrig). Wer dem Paradoxen
gegenübersteht , setzt sich der Wirklichkeit aus”.

Selbst die moderne Mathe kann Paradoxien nicht
vermeiden : Einerseits herrscht die formale Schule ,
die alle Bedeutungen ausschließen will , anderseits
beruht das Interesse an Mathe gerade auf ihrer
Bedeutung !

Die Tatsache , daß sich allgemeine Probleme
manchmal leichter als spezielle lösen lassen ,
wird von G. Polya als „Paradoxie des Erfinders“
bezeichnet.

Das pädagogisches Fehlerparadoxon besagt , daß
man Fehler zulassen muß , um sie zu vermeiden !

 

Redundanz

Du bist überrascht , wenn bestimmte Größen
nicht ins Ergebnis eingehen (redundant sind) :
Für den Schnittwinkel φ der Gerade a x +b y = c
A x + B y = C gilt tan φ = (a B - A b) /(a A + b B).
C und c kommen in der Formel nicht vor !

In die Ableitung 1/x der Funktion ln(a x) geht
der Parameter a nicht ein ! Warum ?

Eine Kugel hat den Radius r. Eine zweite Kugel
mit Radius R schneidet die erste Kugel und geht
durch ihren Mittelpunkt. Wie groß ist der
Flächeninhalt des Teils der zweiten Kugelober-
fläche der innerhalb der ersten Kugel liegt ?
Die von R unabhängige Lösung O = π r2 kann
an Hand der Spezialfälle R = r/2 und R = ∞
getestet werden !

Zur Lösung von Problemen werden manchmal
redundante Hilfsgrößen eingeführt ! Diese fallen
im Endeffekt wieder heraus !

Redundanz ist wichtig : ohne sie wären wir
oft verloren !

Zu viele Gleichungen

bedeuten zumeist einen Widerspruch , es sei
denn , die Gleichungen sind voneinander
abhängig :

Die Zahlen a, b, c lassen sich so bestimmen ,
daß die Gleichung
x4 + 4 x3 - 2 x2 - 12 x + 9 = (a x2 + bx + c)2
identisch für veränderliches x gilt !
Koeffizientenvergleich ergibt 1 = a2 , 4 = 2 a b ,
-2 = b2 + 2 a c , -12 = 2 b c , 9 = c2. Aus den
ersten 3 Gleichungen ergeben sich die Lösungen
(a,b,c) = (1,2,-3) und (1,-2,3). Diese erfüllen
auch die restlichen Gleichungen !

 

 Zu wenig Gleichungen

sind im allgemeinen ein Alarmsignal. Suche
als erstes nach versteckten Bedingungen !

Meistens hast du unendlich viele Lösungen zu
erwarten : Wie kannst du die (unendlich vielen)
Lösungen des Gleichungssystems x + y + z = 2 ;
x - 2 y + 3 z = 5 darstellen ?

In anderen Fällen gibt es eine begrenzte Zahl
Lösungen :
Der Inhaber eines Ladens will einen bestimmten
Artikel zu 1 € verkaufen. Da der Artikel nicht
„weggeht“ , setzt er den Preis herunter und
verkauft den Rest (n Artikel) zu 71,71 €. Wie
groß ist der herabgesetzte Preis P in cent ?
Du erhältst nur die Gleichung n P = 7171 für
2 Unbekannte ! Es ist 7171 = 71 * 101 (beides
sind Primfaktoren). Aus der Annahme , daß P
ganz ist , erhältst du : P = 71 , n = 101