Das Faltungsproblem


Aus Erfahrung weißt du , dass sich ein Zeitungsblatt
nicht beliebig oft in der Mitte zuusammenfalten läßt.
Welche Rolle spielt die Dicke des Zeitungspapiers ?


Theorie : Das Zeitungsblatt besitze die Fäche 512
cm2 , seine Dicke sei 0.02 cm. Das Falten kommt
an eine Grenze , wenn die gefaltete Fäche und die
Dicke des gefalteten Stapels etwa gleich groß sind.
Bei n Faltungen ist das bei 512 / 2n ≈ 0.02 2n
der Fall ; daraus ergibt sich n ≈ 12.


Praxis : Wie oft kannst du das Blatt falten ?
    Stimmen Theorie und Praxis überein ?

 

                    Das Fliegenproblem


Zwei 20 km voneinander entfernte Radfahrer fahren
  mit der Geschwindigkeit 10 km/h aufeinander zu.
Eine Fliege startet mit der Geschwindigkeit15 km/h
vom Vorderrad des nach Norden fahrenden Fahrrads.
Sie landet auf dem Vorderrad des nach Süden fahren-
den Fahrrads , dreht sich sofort um und fliegt wieder
zurück , landet , kehrt sofort um usw. Wie groß ist die
Gesamtstrecke , die die Fliege zurücklegt , bevor sie
zwischen den beiden Vorderrädern zerquetscht wird ?


Beim langen Lösungsweg berechnest du die Entfernung
welche die Fliege auf ihrem ersten Trip zum südwärts
fahrenden Rad zurücklegt , dann die Entfernung , die
sie auf ihrem nächsten Trip zum nordwärts fahrenden
Rad zurücklegt , und summierst schließlich die unend-
liche Reihe die du so erhältst. Es ist erstaunlich , wie
viele sich zur langen Berechnung verleiten lassen !


Beim kurzen Lösungsweg gehst du davon aus , dass die
Räder eine Stunde nach dem Start aufeinandertreffen ,
ein Zeitraum , in dem die Fliege mit ihrer Durchschnitts-
geschwindigkeit15 km/h genau 15 km zurückgelegt hat.

javascript:alert('Der Link konnte nicht aktualisiert werden!')                    Das Zisternenproblem

stammt von Heron von Alexandrien : Vier Springbrunnen
lassen ihr Wasser in eine Zisterne fließen. Der erste füllt sie
in einem Tag. Der zweite benötigt 2 , der dritte 3 , und der
vierte 4 Tage. Welche Zeit brauchen alle zugleich ?


Die einfachste Lösung kommt ohne Hilfsgrößen und Unbe-
kannte aus : In 12 Tagen füllt der 1. Brunnen die Zistern 12
mal , der 2. füllt sie 6 mal , der 3. füllt sie 4 mal , und der 4.
füllt sie 3 mal. Da die Zisterne in 12 Tagen 25 mal gefüllt
wird , wird sie also im Bruchteil 12/25 eines Tages gefüllt.


Bei der zweiten Lösung führst du das Volumen 24 l der
Zisterne als Hilfsgröße ein. Aus dem 1.Brunnen fließen also
pro Tag 24 l , aus dem zweiten 12 l , aus dem dritten 8 l und
aus dem vierten 6l in die Zisterne. Macht zusammen 50 l.
Die Zisterne wird im Bruchteil 24/50 eines Tages gefüllt.


Bei der dritten Lösung führst du für den Bruchteil zu dem
die Zisterne vom 1. Brunnen gefüllt wird Unbekannte x ein.
Die Brunnen füllen also der Reihe nach die Bruchteile x ,
x/2 , x/3 und x/4. x + x/2 + x/3 + x/4 = 1 ; x = 12/25.

                    

#  Das Uhrzeigerproblem

Wann genau nach 12 Uhr stehen die beiden Zeiger einer
Analoguhr zum ersten Mal wieder genau übereinander ?

Du hast die Wahl zwischen mehreren Alternativen :
Du gehst von einer Schätzung aus : 5 min nach 13 Uhr
stehen der Minuten- und der Stundenzeiger beinahe über-
einander. Du kannst die Näherung schrittweise verbessern.

Du gehst von den Winkelgeschwindigkeiten der Zeiger
aus und berechnest in welcher Zeit der Minutenzeiger den
Stundenzeiger wieder einholt (gleiche Winkelstellung !).

Du überlegst , wie oft der Minutenzeiger den Stunden-
zeiger in 12 Stunden überholt....Es sind genau 11 mal !
Da das Einholen in regelmäßigen Zeitabständen statt-
findet ist klar , daß es das erste Mal nach 12/11 Stunden
= 1 h 6 min xx s stattfindet. Das ist die einfachste und
eleganteste Lösung des Problems.