Achte auf Symmetrien

Symmetrien werden durch Rechenfehler fast
immer zerstört. Das kannst du dir zunutze machen !

Die Formel (a + b x)2 = a2 + 2 a b x + b x2 ist
falsch , da sie eine Asymmetrie (welche ?) zeigt !

Die Funktion ln ((cx + d)/(ax + b)) kann nicht das
Integral der Funktion 1 / ((ax + b) (cx + d)) sein !

Wo liegt der Schnittpunkt der Gerade mit den
Gleichungen x/a + y/b = 1 und x/c + y/d =1 ?
Zeigen sich die erwarteten Symmetrien ?

 

  unerwartete Symmetrien

Es ist ein Zeichen des Mißerfolgs , wenn
unerwartete Symmetrien auftreten

Die Formel V2 =16 π2 a3 b3 /9 für das Volumen V
eines Rotationsellipsoids , das durch Drehung der
Ellipse mit Halbachsen a und b um die a-Achse
entsteht , zeigt eine unerwartete Symmetrie

Die Betrachtung des Extremfalls a >> b zeigt ,
daß die Formel falsch ist , obwohl sie für den
Spezialfall a = b das richtige Ergebnis liefert.

Die Formel 0π dx/(a + b cos x) = 1/√(a2 + b2 )
ist falsch. Statt der erwarteten Singularität
für a = b zeigt sie eine unerwartete Symmetrie !

       Verifikation durch Symmetrien

Ein Ergebnis kann als bestätigt gelten , wenn
die erwarteten Symmetrien auftreten : durch
Rechenfehler werden sie fast immer zerstört !

In die Formel A = 0.5 r (a + b + c + d) für die
Fläche A eines Tangentenvierecks mit den Seiten
a , b , c , d um einen Kreis mit Radius r gehen
die Seiten a , b , c , d symmetrisch ein.

In die Formel π h (R2 + R r + r2) / 3 zur Volumen-
berechnung eines Pyramidenstumpfs der Höhe h
gehen der Deckkreisradius r und der Grundkreis-
radius R symmetrisch ein.

Symmetrien haben die Menschen schon immer
fasziniert. Der Physiker Werner Heisenberg
wollte aus allgemeinen Symmetrieprinzipien
sogar eine „Weltformel“ herleiten !


           Korrektur von Asymmetrien
Formeln mit unerwarteter Asymmetrie lassen
sich oft symmetrisieren. Dies führt meistens zum
richtigen Ergebnis , wenn du nur einen Fehler
begangen hast. Wie bei jeder Korrektur muß
das neue Ergebnis konsolidiert werden zB
durch Betrachtung eines Spezialfalls.

Die Formel r = 2 A / (a + 2 b + c) für den
Inkreisradius r eines Dreiecks mit Fläche A ,
Seiten a, b , c ist falsch. Wenn sie nur einen
Fehler enthält , kann sie eigentlich nur
r = 2 A/( a + b + c) lauten. Konsolidierung
durch den Spezialfall c = 0.

(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 6 a b3 + b4
zeigt eine Asymmetrie. Du kannst die Formel
auf zwei Arten symmetrisieren :
(a + b)4 = a4 + 6 a3 b + 6 a2 b2 + 6 a b3 + b4
(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
Welche Formel ist richtig ?

Am Spezialfall f(x) = x erkennst du , daß die
Formel f ́ ́(x) ≈ (f(x-h) - 2 f(x) + 2 f(x+h)) / h2
zur näherungsweisen Berechnung der zweiten
Ableitung einer Funktion f(x) falsch ist.
Korrigiere die Formel durch Symmetrisierung.
Nimm an , daß nur ein Koeffizient falsch ist.
Konsolidiere die korrigierte Formel !

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