Nutze Spezialfälle als Sprungbrett

2 Männer sitzen an einem rechteckigen Tisch.
Einer legt einen Cent auf den Tisch , der andere
tut desgleichen usw , immer abwechselnd. Jeder
Cent muß flach auf dem Tisch liegen und darf
keinen anderen Cent verdecken. Wer die letzte
Münze hinlegen kann, nimmt das Geld. Wer
sollte gewinnen , wenn beide gleich gut spielen ?

Ein hervorragender Mathematiker sagte :
„Wenn der Tisch so klein ist , daß er von einem
Cent bedeckt wird , muß offensichtlich der erste
Spieler gewinnen“. Von diesem Extremfall aus-
gehend gelangst du zur vollen Lösung , wenn du
dir vorstellst , daß der Tisch sich mehr und mehr
ausdehnt , sodaß mehr Münzen Platz haben.

Welcher Ortsvektor c halbiert den durch die
Ortsvektoren a und b definierten Winkel ?
Benutze den Spezialfall , daß beide Vektoren
gleich lang sind als Sprungbrett ! In diesem
Fall bilden die Vektoren ein gleichschenkliges
Dreieck und die Winkelhalbierende fällt mit
der Seitenhalbierenden a + b zusammen.
Sollten a und b nicht gleich lang sein , dann
verlängerst oder verkürzt du den Vektor b ,
bis er genauso lang ist wie a.

Die Betrachtung von Spezialfällen ist auch
wichtig , um zu sehen , ob man eine Aufgabe
verstanden hat und um ein Gefühl für das
vorliegende Problem zu bekommen !

                          
               Orientierung an Spezialfällen
  

In Klausuren fühlst du dich manchmal unsicher.
Was kannst du in solchen Situationen tun , um
                  Fehler zu vermeiden ?

Im Prüfungsstress weißt du manchmal nicht
 mehr was richtig ist :  ln x + ln y = ln (x + y) 
oder  ln x + ln y =  ln (x y) ? Betrachte den
Spezialfall x = y = 1! Da ln(1) = 0 und ln(2) 
≠ 0 ist , kann nur die 2. Formel richtig sein.

Die Orientierung an Spezialfällen ist nützlich , 
wenn du die Anzahl der verschiedenen Tipps
beim Zahlenlotto „6 aus 49“ bestimmen willst : 
Beim Ankreuzen der 1. Zahl hast du 49 Möglich­
keiten , beim Ankreuzen der 2. Zahl noch 48
Möglichkeiten...Gibt es also 49 48 47 46 45 44
                          Möglichkeiten ?

Betrachte den Spezialfall „2 aus 4“ ! In diesem 
Fall kannst du alle möglichen Tipps aufschreiben.
Es gibt nur 6 statt der vermuteten  4 3 = 12 
                           Möglichkeiten.

Was ist passiert ? Du hast übersehen , daß es
 nicht darauf ankommt , in welcher Reihenfolge
 du die Zahlen ankreuzt ! Jetzt kannst deinen
                 Fehler korrigieren : Es gibt
(49 48 47 46 45 44)/(1 2 3 4 5 6) Möglichkeiten.
    
    

 

Falsifizierung durch Spezialfälle

Es ist einfach , Ergebnisse durch Betrachtung
von Spezialfällen zu falsifizieren : du bist
weitgehend unabhängig von Vorkenntnissen :

0 e -x sin(a x) dx = 1 / (1- a 2 )? Setze a = 0 !
Das war`s !
Die Formel d sin(a x) / dx = cos(a x) kannst
du leicht falsifizieren : setze a = 0 ein !

Da man oft durch Einsetzen von 0 „Erfolg“
hat , spricht man von der 0-Einsetz-Methode.

Oft mußt du mehrere Spezialfälle betrachten :
0∫ ∞  (sin(ax) – a sin(x)) dx/x2 = - ln a ?
Die Formel sieht für a = 1 richtig aus. Wie
sieht es für den Spezialfall a = 0 aus ?

Ein Prof war berüchtigt dafür , Studierende
in seinen Seminaren zu „zerlegen“. Oft sagt
er plötzlich im Brustton der Überzeugung :
„das muß falsch sein !“ Die Vortragenden
waren fassungslos , da sie glaubten das
vorgetragene besser zu durchblicken als
der Prof...

 

    Mustererkennung durch Spezialisierung   

Bei vielen Problemen kommst du erst weiter , 
wenn es dir gelingt , ein Muster zu erkennen !

Zehn  Zahlen z(1), z(2),..., z(10) hängen so 
zusammen , daß von der dritten an jede die
  Summe der beiden vorhergehenden ist :
 z(n) = z(n­1) + z(n­2)  für n = 3 , 4 ,..., 10. 
Wie groß ist  s = z(1) + z(2) +.... + z(10) , 
              wenn z(7) gegeben ist ?

Das Problem sieht schwierig aus. Kannst du
 ein Muster erkennen ? Untersuche zunächst
 ein paar Spezialfälle , um ein Gespür für das
        ganze zu bekommen :

Fall 1 : z(1) = 0 , z(2) = 1 , z(7) = 8 , s = 88 
Fall 2 : z(1) = 1 , z(2) = 0 , z(7) = 5 , s = 55
Fall 3 : z(1) = 1 , z(2) = 1, z(7) = 13 , s = 143
Ist es Zufall , daß s in allen Fällen das 11­fache
 von z(7) ist ?  Wie sicher ist die Hypothese 
 s = 11 z(7) ? Vielleicht testest du diese noch
            mit anderen Spezialfällen !

Wenn du von deiner Hypothese überzeugt bist,
kannst du an einen Beweis denken. Wir wollen
ihn hier nicht erbringen da es um Entdeckungen
                  und nicht um Beweise geht !