Risiken und Nebenwirkungen

Die Arzneimittelwerbung textet :
Zu Risiken und Nebenwirkungen fragen Sie
Ihren Arzt oder Apotheker.

Wer klärt dich über Risiken und Nebenwirkun-
gen beim Lösen mathematischer Probleme auf ?
Mußt du immer erst durch Schaden klug werden ?

Gewisse Vorgehensweisen bergen Risiken , die
du besser nicht eingehen solltest , von Neben-
wirkungen ganz zu schweigen !

Dazu gehören vorschnelle , unbewußte Verallge-
meinerungen. Du gehst hohe Risiken ein , wenn
du Konventionen ignorierst

Arbeiten nach Rezepten oder Vorlagen ist nur bei
Routineaufgaben vertretbar.

Das Motto „no risc-no solution“ ist nur für Könner
etwas ! Zu ihnen zählte Leonhard Euler , der viele
Ergebnisse mit „unerlaubten“ Methoden gewonnen
hat. Er war eben ein Meister des Risikos !

 

       Rezepte und Vorlagen

Mathe erscheint oft als eine Sammlung von
Rezepten zur Lösung von Problemen :
Greife in die richtige Schublade und hole
das passende Rezept heraus !

Manche Probleme lassen sich tatsächlich so
lösen. Ärger gibt es aber , wenn du Rezepte
kritiklos anwendest , ohne die Voraussetzun-
gen ihrer Anwendbarkeit zu kennen.

Rezepte haben den Nachteil , daß sie nicht
immer anwendbar sind : Wo hat die für
natürliche Zahlen n definierte Funktion
f(n) = nk / k ! ein Maximum ? f(n) ist nicht
differenzierbar , das übliche Rezept nutzlos.

Oft werden Rezepte mit der arroganten
Begründung angeboten , daß die Schüler
den Lehrstoff sowieso nicht verstehen.

3 Behälter enthalten Alkoholmischungen :
Mischung 1 : 2 : 3 ergibt 24 %igen Alkohol ,
Mischung 1 : 2 : 1 ergibt 20%igen Alkohol ,
Mischung 1 : 1 : 2 ergibt 22%igen Alkohol.
Welche Konzentration haben die 3 Behälter ?

Viele Studenten konnten diese Aufgabe nicht
lösen , weil sie den Sachverhalt nicht in For-
meln umzusetzen konnten.

Einige Studenten mit Ausbildung in Stöchio-
metrie kamen zum richtigen Ergebnis , konnten
aber das angewandte Rezept nicht begründen.
Welchen Schluß ziehst du daraus ?

 

Nebenwirkungen

treten fast immer auf , wenn du Probleme löst :

Du mußt auf sie achten , wenn du als Chef eine
neue Kraft einstellen willst , viele Bewerber da
sind und du mit jedem nur einmal sprechen
kannst. Stellst du den erstbesten ein , übersiehst
du leicht bessere Bewerber. Wartest du zu lange ,
hast du den besten Bewerber vielleicht bereits
ausgeschieden ! Wie kannst du vorgehen ?

Beim Lösen von Gleichungen mußt du oft irre-
versible Umformungen durchführen. Als Neben-
wirkung schleppst du „Lösungen“ ein , welche
die Ausgangsgleichung nicht erfüllen. Ein
typisches Beispiel sind Wurzelgleichungen.

Manche Autoren denken nicht an die Neben-
wirkungen der von ihnen verfaßten Mathe-
bücher. Die Folgen sind Desinteresse ja
sogar Hass auf Mathematik.

Auch beim Schreiben einer Klausur mußt du
sehr auf Nebenwirkungen achten ! Ein starres
Schema (20 min Zeit für jede Aufgabe) ist
nicht nützlich !

Selbst Fehlererkennungsmethoden haben wie
alles im Leben ein Risiko : Das Risiko ist ,
daß du Ergebnisse als falsch etikettierst ,
obwohl sie richtig sind. Die Nebenwirkung
ist , daß du in diesem Fall vergeblich nach
einem Fehler suchst !

Dem Dorfdeppen werden immer wieder eine
1 € - und eine 2 € - Münze hingehalten: Er
nimmt jedesmal die 1 €- Münze !
Gefragt warum er das macht , antwortet er :
Ich bin doch nicht blöd ! Wenn ich die 1€ -
Münze nehme , macht keiner mehr das Spiel
mit mir !

 

Unerlaubte Methoden

spielen auch in Mathe eine große Rolle !

Leonhard Euler war ein Meister in der Handhabung
unzulässiger Methoden ; aus der Produktdarstellung
sin x = x(1 – x/π)(1 + x/π)(1- x/2 π )(1+ x/2 π )..
erhielt er durch Vergleich mit der Potenzreihe
sin x = x – x3 / 6 + x5 / 120 - x7 / 5040 + ....
die damals unbekannte Formel
π2 /6 = 1 + 1 / 4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +...her.

Natürlich wurde er von zeitgenössischen Mathema-
tikern heftig kritisiert , aber der Erfolg gab ihm recht !

Auch Physiker leiten oft richtige Ergebnisse mit
unzulässigen Methoden her , weil die dafür nötige
Mathematik noch nicht entwickelt worden ist !

Gelegentlich führen sogar Rechenfehler zum
richtigen Ergebnis. Die Gleichung
1.325x + 1.325x+1 + 1.325x+2 = 1.325 6 kann
so gelöst werden : x+(x+1)+(x+2) = 6 , x =1
die Probe zeigt , daß das Ergebnis richtig ist !

Die Beschleunigung a = dv/dt (t = Zeit) läßt sich
aus der Geschwindigkeit v(s) als Funktion des
Weges s herleiten : a = dv/dt = dv/ds ds/dt = v dv/ds !

Heuristisch betrachtet ist die Herleitung völlig in
Ordnung , obwohl Ableitungen eigentlich keine
Quotienten sind !

Leite die Ableitung d2x/dy2 aus dy/dx und
d2y/dx2 her !