Rien ne vas plus

sagt der Croupier in der Spielbank , wenn kein
Einsatz mehr erlaubt ist. Manchmal bleibst du
mitten im Problem stecken : Nichts geht mehr !

Aus einer Postkarte soll ein Loch geschnitten
werden , sodaß dein Kopf hindurch geht. Du
hast nach längerem Probieren meist einen
Streifen übrig ! Du bist ratlos , obwohl du
ganz nahe an der Lösung bist. Hätte man dir
gleich einen Streifen in die Hand gegeben ,
hättest du die Lösung sicher gefunden...

Die Seite BC des Dreiecks ABC wird durch
den Punkt M halbiert , die Seite AC durch den
Punkt D so geteilt , dass AD = 3/5 AB. Die
Strecken BD und AM schneiden sich im Punkt
S. Wie wird die Strecke BD durch S geteilt ?

Das Dreieck ist durch die Vektoren AB und AC
bestimmt. Du wählst den Ansatz : BS = x BD ,
AS = y AM , drückst alle anderen Größen durch
AB und AC aus und erhältst schließlich die
Gleichung : (1 + 2 x - y) AB = (x + y) AC

Da du die Vektoren AB und AC nicht kennst ,
siehst du keine Chance , die Unbekannten x
und y zu bestimmen. Nichts geht mehr !

Was hast du nicht beachtet ? Die Vektoren AB
und AC sind linear unabhängig , da sie ein
Dreieck bilden , d.h. die obige Vektorgleichung
ist nur mit den Koeffizienten 0 zu erfüllen :
1 + 2 x – y = 0 , x + y = 0 .

Du drehst dich im Kreis herum

Zur Lösung der Gleichungen a + 2 b - c = 1 (1) ,
a - b + 2 c = 3 (2) , 2 a + b + c = 4 (3) ziehst
du (2) von (1) ab : c = 2 / 3 + b (4). Du setzt
(4) in (1) ein : a = 5 / 3 + b (5). Setzt du (4)
und (5) in die bisher unbenutzte Gleichung (3)
ein , erhältst du 0 = 0 ! Was ist schief gelaufen ?

Du versuchst es nochmals : Addition von (2)
und (3) ergibt a = 7 / 3 - c (6). Einsetzen von
(6) in (2) ergibt : b = - 2 / 3 + c (7). Setzt
du (6) und (7) in (1) ein , landest du abermals
bei 0 = 0 ! Du hast das Gefühl , dich im Kreise
zu drehen. Was ist passiert ?

Analyse : Du hast zwar keinen Fehler gemacht ,
bist aber von der fixen Idee ausgegangen , daß
eine eindeutige Lösung existieren muß !

Auch bei der Integration kannst du dich im Kreis
herumdrehen : Du versuchst I = ∫ex sin x dx
partiell zu integrieren : ∫ex sin x dx = ex sin x -
∫ex cos x dx (1)
Bei der zweiten partiellen Integration erhältst
du : ∫ex cos x dx = ex sin x - ∫ex sin x dx (2)
Setzt du (2) in (1) ein , erhältst du 0 = 0 !
Analyse : Du hast die erste partielle Integration
durch die zweite wieder rückgängig gemacht !

Du steckst in einer Sackgasse

Nicht nur im Alltag , auch bei der Lösung von
Matheaufgaben kannst du in einer Sackgasse
landen :

n verschiedene Punkte werden auf dem Umfang
eines Kreises markiert und jeder Punkt geradlinig
mit jedem anderen verbunden. In wieviel Gebiete
wird die Kreisfläche dabei höchstens zerlegt ?

Du probierst zuerst die Fälle n = 2 , 3 , 4 , wobei
du maximal 2 , 4 , 8 Gebiete erhältst. Du glaubst
ein Muster zu erkennen und verallgemeinerst :
für n Punkte gibt es maximal 2n-1 Gebiete. Du
testest noch den Fall n = 5. Doch für n = 6 wirst
du verzweifelt nach dem 32. Gebiet suchen !
Du bist in eine Sackgasse gelaufen und mußt das
Problem anders angehen !

Auch Rechenfehler führen oft in eine Sackgasse :
Du wirst doppelt bestraft ! Weil der Lehrer den
Fehler anstreicht und weil du mit falschem
Zwischenergebnis oft nicht mehr weiterrechnen
kannst.

Sackgassen gibt es nicht nur in Mathematik :
Alexander Unzicker zeigt im Buch “Vom Urknall
zum Durchknall” , daß die Physik bei der Jagd
nach der Weltformel in eine Sackgasse geraten ist.

Scheitern an versteckten Bedingungen

Du scheiterst , wenn du versteckte Bedingungen
nicht bemerkst. Natürlich sind sie nicht wirklich
versteckt. Sie werden nur nicht explizit benannt.
Solche Bedingungen nennt man „implizit“
(verhüllt). Du benötigst die Kunst des Heraus-
fragens (Explikation) :

Anna ist 24 Jahre alt. Sie ist doppelt so alt , wie
Marie war , als Anna so alt war , wie Marie jetzt
ist. Wie alt ist Marie (jetzt) ? Das jetzige Alter
von Marie sei x.

Damals war Anna so alt wie Marie jetzt ist , also
ebenfalls x Jahre. Da Anna jetzt doppelt so alt ist ,
wie Marie damals war , ist das damalige Alter
von Marie 12 Jahre.

Du faßt deine Erkenntnisse in einer Tabelle

zusammen                 Anna       Marie
                        jetzt      24             x
                       damals   x             12  

Aus welcher versteckten Bedingung läßt sich
das Alter von Marie bestimmen ?

Die versteckte Bedingung ist , daß der Alters-u
nterschied immer gleich bleibt : 24 - x = x - 12
d.h. x =18.

Die Unvollständigkeit

von Gleichungen oder Bedingungen ist häufige
Ursache für das Mißlingen einer Problemlösung :

Der Mittelpunkt M(x, y, z) des Kreises durch
die Punkte A(1 , 3 , 2) , B(2, -1 , 1) , C(3, 1 , 2)
kann nicht aus den Gleichungen
( x - 1)2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = r2
(x - 2 )2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = r2
(x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = r2
ermittelt werden. Welche Bedingung fehlt ?

Problemlösungen ohne sorgfältige Dokumentation
sind als unvollständig zu betrachten. Du bekommst
das spätestens bei der Fehlersuche zu spüren !