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Die Kunst der Falsifikation


Bevor du daran gehst , dein Ergebnis zu
verifizieren , solltest du versuchen , es
zu falsifizieren !
Falsifikation ist ein destruktiver Prozeß.
Es ist leichter , etwas zu zerstören als es
aufzubauen ! Zur Falsifikation benötigst
du nur Bruchteile der Zeit , die du zur
Herleitung des Ergebnisses benötigst !
Genau das richtige für Klausuren !


Beim Versuch Ergebnisse zu falsifizieren ,
gewinnst du in jedem Fall : Entdeckst du
keine Fehler ist dein Ergebnis vermutlich
richtig ! Entdeckst du Fehler , hast du die
Chance , sie dingfest zu machen und zu
korrigieren !
Nur selten wird es passieren , daß du etwas
als falsch klassifizierst , obwohl es richtig ist.

 

Falsifikation durch Spezialfälle


Es ist einfach , Ergebnisse durch Betrachtung
von Spezialfällen zu falsifizieren :
Die Falsifizierung von Formeln ist sogar weit-
gehend unabhängig von Vorkenntnissen :


0∫∞ e-xsin(ax)dx = 1/(1+a2) ? Setze a = 0 !
Das war`s !


Die Formel d sin(a x) / dx = cos(a x) ist leicht zu
falsifizieren : Betrachte den Spezialfall a = 0 !
Da man oft durch Einsetzen von 0 „Erfolg“ hat
spricht man von der Null-Einsetz-Methode.


Die Formel
0∫∞ (sin(a x) – a sin(x))/x2 dx/x2 = - ln a
sieht für den Spezialfall a = 1 richtig aus.
Wie sieht es für den Spezialfall a = 0 aus ?


Ein Prof war berüchtigt dafür , Studierende in
seinen Seminaren zu „zerlegen“. Oft sagte er
plötzlich im Brustton der Überzeugung :
„das muß falsch sein !“
Die Vortragenden waren fassungslos , da sie
meistens glaubten das vorgetragene besser zu
durchblicken als der Prof....

 

Falsifikation durch Trendanalyse


Ein für Spezialfälle richtiges Ergebnis kann
immer noch falsch sein ! Hier setzt die Trend-
analyse ein : Wie ändert sich das Ergebnis ,
wenn du die Parameter änderst ? Steigt es
oder fällt es ?


Der Ankreis zur Seite c eines Dreiecks mit
der Fläche A berührt diese sowie die Verläng-
erungen der Seiten a und b.
Warum kann die Formel R = A / (a + b + c)
für den Ankreisradius nicht richtig sein ?
Anleitung : Was passiert wenn eine Dreiecks-
seite zunimmt , während die anderen
konstant bleiben ? Betrachte auch den
Extremfall a + b = c !


Warum kann die Formel d cos(a x)/dx =
- sin (a x) nicht richtig sein ?
Anleitung : Was passiert , wenn a betrags-
mäßig immer größer wird ?

 

Falsifikation durch Singularitätenanalyse


Bei Fehlern treten die zu erwartenden Singularitäten
entweder gar nicht oder an falscher Stelle auf :
In der 15. , 17. , 19. und 21. Auflage der Formel-
sammlung Bartsch findest du die fehlerhafte Formel
0π dx /(a + b cos x) = π/√(a2 + b2) für a > b > 0
Der Fehler wäre sicher früher entdeckt worden , wären
die Leser für Singularitäten sensibilisiert gewesen !


Die Formel d tan x / dx = 1/sin2x zeigt eine unerwartete
Singularität für x = 0 ! Wie lautet die richtige Formel ?
Warum ist die Formel sin2x = tan2x / (1 - tan2x) falsch ?


Die Formel ∫tan(x)dx = - ln| sin x | zeigt eine un-
erwartete Singularität. Stelle sie richtig !
Welche Singularität muß die Formel für den Schnittpunkt
der Gerade y = 1+a x und y = 1+ b(x-1) zeigen ?
Welche Fläche A schneidet die Gerade x/a + y/b = 1 durch
P(1, 2) aus dem ersten Quadranten eines kartesischen
Koordinatensystems A aus ? Singularitäten?

 

Falsifikation durch Symmetriebetrachtung


Symmetrieen werden durch Rechenfehler fast
immer zerstört. Das kannst du dir zunutze machen !
Die Formel (a + b x)2 = a2 + 2 a b x + b x2 ist falsch ,
da sie eine Asymmetrie (welche ?) zeigt !


Du mußt nichts über die Funktionen f und g wissen ,
um die Formeln f(x + y) = (f(x) + f(y)) / (1 + f(x)) ,
∫f(a x) f(b x) dx = f(a x) g(b x)
und d f(a x)/dx = x g(a x) zu falsifizieren !


Die Funktion ln ((cx + d)/(ax + b)) kann nicht das
Integral der Funktion 1/((ax + b) (cx + d)) sein !


Übung : Bestimme den Schnittpunkt der Gerade
mit den Gleichungen x / a + y / b = 1 und
x / c + y / d =1 ! Zeigen sich die erwarteten
Symmetrien ?