Gegensatzpaare

wie Chaos und Ordnung , sinnvoll und sinnlos ,
Tatsache und Vermutung , Theorie und Praxis
durchziehen nicht nur den Alltag sondern die
gesamte Mathe. Sie spielen auch bei der Ent-
deckung von Fehlern eine Rolle.

Die Urteile „richtig“ und „falsch“ bedeuten die
Vertreibung aus dem Paradies des fehlerfreien
Daseins. Damit ist auch die Angst verbunden ,
Fehler zu machen. So weit wir wissen leben
Tiere noch im pardiesischen Zustand.

Das Credo des berühmten Physikers Niels
Bohr lautete : Contraria sunt complementa
(Gegensätze ergänzen sich).

 

Relativ und absolut

sind nicht nur eine Angelegenheit der Physiker.
Oft sind Größen eines Problems nicht absolut ,
sondern nur relativ zueinander bestimmt :

Die Gerade a x + b y = c durch A(1,-2) und
B(1,5) muß die Bedingungen a - 2 b = c und
a + 5 b = c erfüllen. b ist absolut bestimmt :
b = 0. a und c sind nur relativ zueinander
bestimmt : c = - a. Du kannst ohne Beein-
trächtigung der Allgemeinheit a = 1 setzen !

a und b können aus den Gleichungen
a2 - 2 a b cos φ = 3 b2 , a2 + 2 a b cos φ = 2 b2
im Gegensatz zu cos φ nur relativ zueinander
bestimmt werden ! Welchen Wert hat cos φ ?

Das philosophisches Unschärfeprinzip drückt
die Grundhaltung gegenüber dem Leben aus,
daß du die absolute Wahrheit nicht kennen
kannst , weil sie nicht existiert.

D. Hilbert wollte absolute Sicherheit erreichen.
Berühmt ist sein Ausspruch : „In Mathe gibt es
kein ignorabimus ! Wir müssen es wissen und
wir werden es wissen !“ Leider ist er gescheitert !

In Klausuren kannst du niemals absolute sondern
nur relative Fehlerfreiheit erreichen : wenn du mit
Hilfe der Methoden auf dieser website 20 %
deiner Fehler findest , warst du sehr erfolgreich !

 

Chaos und Ordnung

Obwohl Einstein gesagt hat : „Ordnung ist etwas
für Primitive , das Genie braucht das Chaos“
solltest du dich von der Vorstellung trennen , daß
ein chaotischer Aufschrieb ein Zeichen deiner
Kreativität ist !

Viele Menschen sehnen sich nach Ordnung und
glauben sie im Kosmos zu finden. Leider herrscht
auch dort nicht nur Ordnung.

In Klausuren endest du manchmal im Chaos. Doch
auch übertriebene Ordnung kann bedrohlich sein !
Andre Gide hat es auf den Punkt gebracht : „Zwei
Gefahren bedrohen uns : Chaos und Ordnung“

Mathe galt lange als Hort der Ordnung : Geometrie
machte die Neuvermessung des Landes in Ägypten
nach den jährlichen Überschwemmungen möglich !

Logik versucht Ordnung in die Welt des Denkens
zu bringen ! Leider ist die Stoffanordnung nach
logischen Prinzipien in Mathebüchern lernfeindlich !
Du spürst nichts lebendiges mehr , keine schöpfer-
ischen Ideen.

 

Theorie und Praxis

Große Mathematiker (Archimedes , Newton usw)
haben stets Theorie und Praxis miteinander vereint !

Viele Theorien sind nur Übereilungen eines unge-
duldigen Verstandes. (Goethe)

R. Courant sagte : Der Flug in Neuland muß vom
Konkreten starten und beim Konkreten enden !

Die Exaktheit der Mathe hört bei der Lösung von
Praxisproblemen auf. Pseudo-exaktes Getue stößt
viele ab : Schüler benötigen lebendige Begriffe.
Mathe ist wie jede Wissenschaft auf den Zustrom
frischen Blutes in Form neuer Ideen angewiesen.

In der Physik besteht ein subtiles Wechselspiel
zwischen Theorie und Praxis (Experiment).

Anschlag an einem Labor für technische Chemie :
Theorie ist , wenn man alles weiß , aber nichts
funktioniert.
Praxis ist , wenn alles funktioniert , aber niemand
weiß warum.
Bei uns ist Theorie und Praxis vereint : Nichts
funktioniert und keiner weiß warum.

 

Sinne und Verstand

Die Sinne haben in der Mathe eine viel größere
Bedeutung als es auf den ersten Blick erscheint !

Der Sehsinn ist der wertvollste Sinn. Goethe :
„Was ist das schwerste von allem ? Was dir am
leichtesten dünket : zu sehen , was vor den
Augen dir liegt !“ .

Auch das Gehör ist wichtig. Viele sind darauf
angewiesen , um zu lernen oder zu verstehen.

Auch der Tastsinn ist wichtig. Oft wird gesagt :
“Ich taste mich an das Problem heran” !

Ohne Geruchssinn wäre die Menschen längst
ausgestorben.

Geschmack ist nicht nur beim Essen wichtig.
Auch in Mathe gibt es guten und schlechten
Geschmack. Ersterer berät uns oft besser als
das Denken.

Manche sprechen vom 6. Sinn. Wenn du ihn hast ,
ist er auch in Mathe von unschätzbarem Wert !

Schon früher wurde vermutet , daß nichts im
Verstand sei , was nicht vorher in den Sinnen war.
Dies wurde durch Forschungen (an der Uni Ulm)
belegt : Viele Begriffe sind in den Sinnessystemen
des Gehirns verankert und keinesfalls abstrakt ,
wie vielerorts immer noch behauptet wird.

Der antike Philosoph Demokrit ließ die Sinne und
den Verstand zu einem Streitgespräch antreten :

Der Verstand : “Nur scheinbar sind Geruch und
Farbe. Wirklich sind nur Atome und leerer Raum !”
Die Sinne : “Du armer Verstand ; von uns nimmst
du deine Beweismittel. Dein Sieg ist dein Fall !”

 

Vermutung und Tatsache

Vermutungen sind die Basis jeder Wissenschaft ;
du darfst sie nur nicht mit Tatsachen verwechseln !
viele berühmte Vermutungen sind bis heute unbe-
wiesen , z.B. die Goldbachsche Vermutung.

Gilt sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β oder
sin(α + β) = sin α sin β + cos α cos β ? Aufgrund
des Spezialfalls α = β = 0 scheidet Formel 2 aus !

Eine einfache Regel zur Bestimmung von Konver
genzradien lautet : Ermittle den Abstand der näch-
sten Singularität vom Nullpunkt : so besitzt die
Potenzreihe von 1/(1+x) den Konvergenzradius 1.
Die Funktion f(x) = 1/(1 + x2) scheint eine Aus-
nahme zu bilden. Du mußt die komplexe Zahlen-
ebene betrachten !

Selbst Wissenschaftler unterscheiden oft nicht
scharf zwischen Tatsache und Vermutung :

Ein Mathematiker gibt seinen Hut an der Garde-
robe ab. In der Eile vergißt er den Garderoben-
schein mitzunehmen. Als er zurückkommt
bekommt er den Hut ohne Umstände zurück.
Er fragt erstaunt : „Woher wußten Sie , daß es
mein Hut ist ?“ Die Garderobefrau antwortet :
„Mein Herr , ich weiß nicht , ob es Ihr Hut ist ;
aber es ist der Hut , den Sie mir gegeben haben !“