Neue Näherungsformel für den Umfang einer Ellipse
Der Umfangs U einer Ellipse mit Halbachsen a und b
kann nicht exakt berechnet werden.
In der Formelsammlung Bartsch (20. Auflage , S.340)
findest du die Näherungsformeln
U ≈ π (1.5 (a + b) - √(a b))
U ≈ π (a + b + √(2(a2+b2)))/2

Rationale Interpolation zwischen den Spezialfällen
a = b : U = 2 π a , a = 0 : U = 4 b , b = 0 : U = 4 a
ergibt die Formel : U ≈ 4 (π a b + (a – b)2)/(a + b)
die besser als die obigen Näherungsformeln ist !

Alle Formeln wurden im Intervall 0 < b < a numerisch
untersucht. Sie sind für b ≈ a gleich gut. Die Formeln
von Bartsch sind jedoch global gesehen weniger gut
als die neue Näherungsformel ; insbesondere zeigen
sie dramatische Abweichungen , wenn eine der Halb-
achsen der Ellipse immer kleiner wird.
Die neue Formel ist die „einfachste“ ; sie liefert auch
in den kritischen Fällen a = 0 bzw. b = 0 exakte Werte.

 


Neue Näherungsformel für die Oberfläche eines Ellipsoids

Bekannte Formelsammlungen wie Bartsch , Bronstein.......
geben keine Näherungsformel für die Oberfläche O eines
Ellipsoids mit den Halbachsen a , b und c an.

Polya hat die grobe Näherungsformel O ≈ 4 π (a2 + b2 + c2) /3
angegeben die nur in der Umgebung des Spezialfalls a = b = c
einigermaßen gute Werte liefert.

Andere Näherungsformeln (zB von Knud Thomson) liefern
ebenfalls für a = b = c den richtigen Wert 4 π a2 , zeigen
aber für plattgedrückte Ellipsoide große Abweichungen.

Durch rationale Interpolation zwischen den Spezialfällen
S1: a= b= c : Ellipsoid ist eine Kugel mit Oberfläche 4 π a2
S2 : a = 0 bzw. b = 0 bzw. c = 0 : das Ellipsoid entartet
zu „plattgedrückten“ linsenförmigen Ellipsoiden mit den
„Oberflächen“ 2 π b c bzw. 2 π a c bzw. 2 π a b.

läßt sich eine sehr viel bessere bisher unbekannte globale
       hochsymmetrische Näherungsformel ermitteln :

O ≈ 2π(6abc + a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2)/(a + b + c)

Da diese Formel neu ist , wurde sie umfassend getestet :
Sie liefert insbesondere für den Extremfall a = 0 , b = c den
richtigen Wert O = 2 π b2 !

Für Rotationellipsoide (b = c) liefert numerische Integration
für die Fälle b = 0.75 a , b = 0.5 a und b = 0.25 a eine
maximale Abweichung von ca. 1 % .