Kunst und Können

In der Mathematik als Wissenschaft wird nach
streng logischen Prinzipien gearbeitet. Dagegen
ist die Lösung mathematischer Probleme mehr
eine Kunst als eine Wissenschaft :

Auf dieser Seite erfährst du etwas über
die Kunst der Interpolation ,
die Kunst der Extrapolation ,
die Kunst der Elimination ,
die Kunst des Grobrechnens
die Kunst des Weglassens

Die Kunst der Interpolation

zwischen Spezialfällen hilft , wenn deine Kennt-
nisse nicht ausreichen , ein Problem allgemein zu
lösen !

Die durch Interpolation hergeleitete Plancksche
Strahlungsformel markierte den Beginn einer
neuen Ära der Physik !

Leite die Formel für das Volumen eines Pyramiden-
stumpfs der Höhe h , der Grundfläche a2 und Deck-
fläche b2 durch Interpolation zwischen den Spezial-
fällen Pyramide (b = 0) und Quader (b = a) her !
Vergleiche mit deiner Formelsammlung ! Kannst du
die Formel konventionell herleiten ?

Eine Ellipse mit Halbachsen a und R rotiere um die
a-Achse. Aus dem Rotationsellipsoid werde durch
Entnahme der „Polkappen“ ein symmetrisches Faß
der Höhe h (Bodenradius = Deckelradius = r) aus-
geschnitten. Ermittle dessen Volumen durch Inter-
polation zwischen Spezialfällen...

 

Die Kunst der Extrapolation

ist durch selbsternannte Futurologen in Verruf
geraten : In „Ihr werdet es erleben..“ hat Helmut
Kahn keine guten Prognosen abgegeben : wenige
für das Jahr 2000 prognostizierte Ereignisse sind
eingetreten !

Leonhard Euler , einer der größten Mathematiker ,
gelangte durch Extrapolation zu spektakulären
von der Fachwelt skeptisch beäugtenErgebnissen !

Physiker extrapolieren zum absoluten Temperatur-
Nullpunkt und stellen gewagte Spekulationen über
den Urknall auf....

Chemiker müssen zur Bestimmung von Molmassen
extrapolieren ; hierzu sind Spezialkenntnisse nötig !

Ingenieure müssen extrapolieren , wenn sie Bauteile
mit Hilfe der finite-element-Methode berechnen.
Sie brauchen Spezialwissen aus der Mechanik !

Der Verstand neigt zu unbewußten Extrapolationen :
Ein zum Tode verurteilter Diabetiker soll exekutiert
werden. Der Wärter fragt nach dem letzten Wunsch
des Verurteilten. Er möchte noch eine Tasse Kaffee
haben. Der Wärter fragt : „wieviel Zucker möchten
Sie ?“ Der Verurteilte sagt : „Zucker ? Sind Sie
verrückt , ich bin doch Diabetiker !“

 

   Kunst des Weglassens

Du kommst bei einem Problem voran ?
Laß zunächst einige Bedingungen oder
Daten weg ! Das Problem wird dadurch
oft zugänglicher. Auch im Alltag siehst
du oft klarer , wenn du Ballast wegläßt.

Die durch einen Fluß getrennten Städte A
und B sollen durch eine Brücke verbunden
werden. Die Brücke soll senkrecht zu den
Flußufern verlaufen. Wo muß die Brücke
gebaut werden , damit die Straße vo A
nach B minimale Länge hat ?

Das Problem sieht schwierig aus , aber du
gelangst schnell zu einer Lösung , wenn du
den Fluß zunächst wegläßt (annimmst , daß
er die Breite 0 hat) ! In diesem Fall ist klar ,
wie die Straße zu bauen ist. Füge du den
Fluß wieder hinzu...

Karikaturen und abstrakte Kunst beruhen
auf der Kunst des Weglassens :

Ein Betrachter steht vor einem abstrakten
Gemälde. Er fragt den anwesenden Künstler
was auf dem Gemälde dargestellt sei. Dieser
sagt : „Das sind Kühe auf einer abgefressenen
Weide“. Der Betrachter sagt : „Aber ich sehe
keine Kühe !“ Der Künstler antwortet : „was
sollen denn Kühe auf einer leeren Weide !“

Die Kunst der Elimination

ist erforderlich , wenn zu viele Unbekannte auf-
treten. Versuche einige von ihnen zu eliminieren !

Bestimme die Hypotenuse a im rechtwinkligen
Dreieck mit Katheten b und c , wenn der Inhalt A
sowie der Umfang 2 s des Dreiecks gegeben sind.
Es gilt : a + b + c = 2 s , b c = 2 A , a 2 = b 2 + c 2

Um a als Funktion von s und A zu bestimmen
mußt du b und c eliminieren !
b + c = 2 s - a , (b+c) 2 = b 2 + c 2 + 2bc = a 2 + 4 A :
(2 s - a) 2 = a 2 + 4 a daraus folgt : a = s - A / s

Die Stärke des Eliminierens liegt darin , daß man
oft sicherer weiß , was man nicht will , als was
man will. Du mußt allerdings umsichtig vorgehen.
Sonst kannst du am Ende ohne Lösung dastehen.

Zeige 5(a2 + b2 + c2 )(a3 + b3 + c3 ) = 6(a5 + b5 + c5 ) ,
wenn a + b + c = 0. Hinweis : Eliminiere c und
entwickle beide Seiten nach Potenzen von a und b !

Entwickle eine Näherungsformel zur Berechnung
der 2. Ableitung f ́ ́(x) der Funktion f(x) aus den
Werten f(x-h) , f(x) und f(x+h) !
Gehe von f(x+h) ≈ f(x) + f ́(x) h + f ́ ́(x) h2/2 +..
aus und versuche die 1. Ableitung zu eliminieren.