Einfache Kontrollen

Du kannst viele Fehler vermeiden , wenn du bereits während
deiner Rechnungen einfache Kontrollen durchführst ! Einige
findest du in sogar in deinen Mathebüchern : die Zeilensum-
       menkontrolle beim Gaußschen Algorithmus.

Die Addition von Zahlen ist leicht zu kontrollieren : bei einer
Änderung der Reihenfolge ist es unwahrscheinlich, daß dabei
dasselbe herauskommt und das Ergebnis trotzdem falsch ist.
Du wendest ein , daß heute niemand mehr Zahlen „von Hand“
addiert. Wozu gibt es Computer ? Doch damit gewinnst du
nicht viel , denn jetzt passieren die Fehler beim Eintippen.

Obwohl Kontrollen etwas Zeit benötigen ist es kurzsichtig ,
auf sie zu verzichten : Du verlierst unter Umständen sehr
         viel Zeit (bei der Suche nach Fehlern) !

Die Maxime „Vertrauen ist gut , Kontrolle ist besser“ ist
gerade der Bearbeitung von Matheaufgaben angebracht !

 


                          Dimensionskontrolle

In deinen Mathebüchern steht nichts wie du mathematische
Formeln durch eine Dimensionskontrolle überprüfen kannst.

Auf den ersten Blick scheint eine solche Kontrolle unmöglich
zu sein : Mathematische Funktionen sind dimensionslos und
         lassen nur dimensionlose Argumente zu.

Doch was hindert dich , den in Matheformeln auftretenden
            Größen eine Dimension zu geben ?

      Betrachte die Formel d sin(a x) / dx = cos(a x) !
cos(a x) und das Differential d sin(a x) sind dimensionslos.
Wenn du x und damit das Differential dx als Länge ansiehst ,
siehst du , daß die obige Formel nicht richtig sein kann.

Wenn du das verinnerlicht hast , wird es dir gelingen die
die Formel ∫dx / (x2 + a2) = a arctan(a x) dimensionsmäßig
richtig zu stellen ! Du benötigst dazu keine Kenntnisse der
      Integralrechnung oder der arctan-Funktion !

 

                    Stichprobenkontrollen

sind sie bei Mathematikern verpönt , da sie keine absolute
Sicherheit garantieren. Laß dich nicht davon abhalten !

Multipliziere die Polynome x2 + 3 x + 1 und 2 x2 - 5 x + 3.
Wie kannst du das Ergebnis 2x4 + x3 - 13 x2 + 4 x + 3
kontrollieren ? Mach eine Stichprobe mit einfachen Zahlen !

Laß dich von Skeptikern nicht irritieren : du bist sicher
  bereit , ein gewisses Restrisiko in Kauf zu nehmen !

Die Partialbruchzerlegung 1/((x-1)(x+1)) = 2/(x-1) + 1/(x+1)
kannst du testen , indem du die rechte Seite der Gleichung auf
         den Hauptnenner (x - 1) (x + 1) bringst.

Viel einfacher ist eine Stichprobe ! Erhältst du „links“ und
„rechts“ den gleichen Wert , wenn du 0 oder 2 einsetzt ?

 


                     Vorzeichenkontrollen

sind wichtig , da Vorzeichenfehler häufig auftreten !

∫ln x dx = x +- x ln x ? (was passiert für großes x ?)

Ein Stein fällt in einen Brunnen : Für die Fallhöhe h gilt :
h = 0.5 g (t - h/c) , t = Fallzeit , g = Erdbeschleunigung
                c = Schallgeschwindigkeit.

Benutze physikalische Überlegungen um das Vorzeichen
in der Näherungsformel h ≈ gt2/2 + g2t3/(2c) zu testen !

Wie lautet der Cosinussatz der ebenen Trigonometrie
b2 = a2 + c2 + 2 ac cos β oder b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β ?

Die Formel sin4x = 1/8 (cos(4 x) - 4 cos(2 x) + 1) ist
falsch ! Warum ? (sin 4 x kann nicht negativ werden)

Warum ist die Formel d sin(3 x) / dx = 3 cos(3 x) falsch ?

 

 Numerische Kontrollen

Bei algebraischen Umformungen passieren viele Fehler.
  Du solltest deine Ergebnisse numerisch kontrollieren :

Kontrolliere die Formel 2 sin2x = 1- cos (2 x) durch
         Einsetzen verschiedener x - Werte !

Betrachte die Funktion f(x) = 1 + 2 x - 3 x2 . Aufgrund
eines Ableitungsfehlers f ́(x) = 2 – 2 x , f ́ ́(x) = -2 schließt
du , daß f an der Stelle x = 1 ein Maximum besitzt !

Zur Kontrolle berechnest du f(0.9) = 0.37 , f(1) = 0 und
    f(1.1) = - 0.43. Ein Maximum ist nicht erkennbar !

Auch bei der Bestimmung uneigentlicher Ausdrücke ist
   eine numerische Kontrolle sehr zu empfehlen :

Läßt sich der Grenzwert 1/2 von (1- cos x) / x2 für x→0
                          numerisch bestätigen ?

 

                             Visuelle Kontrollen

Visualisierungen erlauben eine einfache Kontrolle diverser
Sachverhalte : Ermittle die Gleichung des Spiegelbilds der
Parabel y = x2 an den Geraden x = 2 , y = x , y = 3 !

Kontrolle dein Ergebnis an Hand von Skizzen ! Laß dich
     nicht entmutigen , wenn es nicht sofort klappt !

Was kann über die Nullstellen der Ableitung der Funktion
  f(x) = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) (x-8)
gesagt werden ? Kannst du das visuell kontrollieren ?

Kannst du an Hand von Skizzen sehen , ob es eine für
reelle Zahlen definierte Funktion f(x) gibt , für welche
      für alle x gilt : f(x) > 0 , f ́(x) < 0 , f ́ ́(x) < 0 ?

Wie lautet die Gleichung der Tangente vom Koordinaten-
ursprung an die Parabel mit der Gleichung y = 1 + x2 ?
Trage die von dir ermittelte Tangente in eine Skizze ein !

Zeige : die Kurve mit der Gleichung y = 1 + 1/ (x - 2) ist
punktsymmetrisch zum Punkt P(2,1) ! Kontrolliere die
   Bedingung f(x) = 2 - f(4 - x) an Hand einer Skizze !