Heuristische Methoden

Ich Hab`s oder heureka rufst du freudig erregt , wenn du
nach langem Suchen endlich eine Lösung gefunden hast.

Heuristik ist die Kunst , mit begrenztem Wissen und wenig
Zeit zu guten Lösungen zu kommen. Allerdings findest du
     diese nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit.

Das ist für viele Mathematiker unbefriedigend. Sie sind
Perfektionisten. Es genügt ihnen nicht , wenn Probleme
nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit zu lösen sind !

Tatsache ist aber , daß sich einige der besten Mathematiker
(Archimedes , Descartes , Leibniz..) nicht zu schade waren ,
sich mit diesem Thema zu beschäftigen , in neuerer Zeit
vor allem G. Polya , dessen Werke zur Standardliteratur
              auf diesem Gebiet gehören.

Schüler finden oft keinen Zugang zu Problemen. Doch
für Mathematiker ist das kein Thema ! In deinen Mathe-
büchern findest du nichts über heuristische Methoden !

Heuristische Methoden sind wichtig , wenn deine Mathe-
kenntnisse nicht ausreichend sind um ein vorliegendes
                       Problem zu lösen.

Heuristische Methoden werden oft diffamiert : sie seien
nicht sicher ; doch das ist gerade ihr Vorteil. Nur Mathe-
matiker mit ihrem Sicherheitstick sehen das anders.

Die Bedeutung heuristischer Methoden ist unübersehbar.
Vielen Problemen (zB Stundenplanproblemen) kann man
mit den üblichen Methoden nur schlecht beikommen.

Millionen Schüler werden täglich in unseren Schulstuben
und Hörsälen im wahrsten Sinne des Wortes betrogen.
Sie werden um die Erfahrung gebracht , selbst etwas
                         entdecken zu können.

 


                     Descartes Traum

ist der Titel eines interessanten Buches der amerikanischen
Mathematiker Philip J. Davies und Reuben Hersh.

Descartes war der Ansicht , daß sich fast alle Probleme durch
Reduktion lösen lassen. Man müsse nur bekannte Lösungen
gelöster zur Lösung bisher ungelöster Probleme verwenden
Allerdings blieb er den Beweis für seine Ansicht schuldig.

             Das Descartesche Schema lautet :
Reduziere jedes Problem auf ein mathematisches Problem.
Reduziere jedes mathematische Problem auf ein algebraisches.
Reduziere jedes algebraische Problem auf die Lösung einer
                       einzigen Gleichung.

Je mehr Erfahrung man hat , um so mehr Lücken entdeckt
man in seinem Plan...trotzdem ist in der Absicht , die dem
Descarteschen Plan zugrunde liegt , offenbar etwas tief-
                          gründig richtiges.

Descartes Traum konnte in der Physik weitgehend realisiert
werden : viel Phänomeme können durch einfache Formeln
mit wenigen Naturkonstanten beschrieben werden. Werner
Heisenberg wollte mit der Weltformel noch einen Schritt
                                  weitergehen.

Kritik an der analytischen Geometrie von Descartes : Durch
die Einführung willkürlicher Koordinaten , die mit der Sache
nichts zu schaffen haben , wird die Idee verdunkelt : die
Rechnung besteht in einer mechanischen , geisttötenden
                        Formelentwicklung !

 

  

                Die Kunst des Herausfragens

ist die Basis aller heuristischen Methoden. In allen 4 Phasen
des Problemlösens (nach G. Polya) sind Fragen essentiell für
                                den Erfolg :

Du kommst manchmal nicht weiter , weil du im Problem
„versteckte“ Bedingungen nicht beachtest. Natürlich sind
diese nicht wirklich versteckt ; sie werden nur nicht explizit
benannt. Solche Bedingungen nennt man implizit (verhüllt).

Du benötigst die Kunst des Herausfragens (der Explikation)
Erwarte nicht , daß schon die erste Frage zum Erfolg führt !
    Oft sind viele Fragen nötig , um zum Ziel zu kommen.

Anna ist 24 Jahre alt und doppelt so alt , wie Marie war , als
Anna so alt war , wie Marie jetzt ist. Wie alt ist Marie (jetzt) ?

Das jetzige Alter von Marie sei x. Damals war Anna so alt
wie Marie jetzt ist , also ebenfalls x Jahre. Da Anna jetzt
  doppelt so alt ist , wie Marie damals war , beträgt das
        damalige Alter von Marie 24 / 2 = 12 Jahre.

Du faßt deine Erkenntnisse                  jetzt      damals
in einer Tabelle zusammen :    Anna      24            x
                                                 Marie      x            12              

Aus welcher Bedingung ergibt sich das Alter von Marie ?


                    Die trial and error methode

ist die bekannteste heuristische Methode. Sie wird von
G. Polya als die wissenschaftliche Methode bezeichnet.

Weitgehend unbekannt ist , daß sich die Methode durch
Fehlererkennungsmethoden wesentlich verbessern läßt !

Die trial and error methode darf nicht mit blindem Suchen
verwechselt werden. Du mußt bereit sein , aus jedem Miß-
                        erfolg zu lernen.

Du kannst damit sogar Probleme lösen , für die dir das
              mathematische Rüstzeug fehlt :

Mit dem Kapital c (in €) soll ein möglichst großer Garten
durch einen rechteckigen Zaun eingezäunt werden. Zwei
gegenüberliegende Rechteckseiten sollen mit Drahtzaun ,
die andern beiden Seiten mit Bauholz abgegrenzt werden.
Die Kosten für den Holz- bzw. Drahtzaun seien a bzw. b
                                   (in €/m).

Die Erkenntnis , dass die Fläche A muß invariant gegen
Vertauschung von a und b sein muß und um so größer ist ,
je mehr Kapital du hast und je billiger das Material ist ,
                       führt zu folgendem

Versuch 1 : A = c / ( a + b ) Irrtum : A hat die falsche
                                                Dimension m statt m2 !

Versuch 2 : A = c2 / (a2 + b2) Irrtum : Mit Gratisdrahtzaun
             könntest du ein beliebig großes Areal einzäunen !

Versuch 3 : A = (c2 / a2 + c2 / b2) Irrtum : mit sehr teuerem
                                 Holz ist keine Einzäunung möglich !

Versuch 4 : A = c2 / (a b)   Diese Formel widersteht dem
               Angriff aller Methoden der Fehlerentdeckung !

Die noch fehlende numerische Konstante kannst du aus
dem Spezialfall a = b bestimmen : A = c2 / (16 a b)

Wenn du noch Zweifel hast , kannst du das Problem mit
den Hilfsmitteln der Differenzialrechnung angehen !

 

   
                           Divide et impera


(deutsch : teile und herrsche) ist eine Strategie zur Teilung
von Problemen in kleinere , einfacher und schneller zu
                     lösende Teilprobleme :

Wie lautet die n-te Ableitung der Funktion f(x) = 2/(1- x2) ?

  Du kannst das Problem durch Bilden der Ableitungen
df/dx = -2 x/(1 - x2)2 , d2f/dx2 = blabla/(1 - x2)3 , d3f/dx3 =
blabla/(1- x2 )4 usf...induktiv anzugehen , in der Hoffnung
ein Muster zu erkennen. Doch statt in einem Muster endet
            das ganze immer mehr im Chaos !

Zerlege den Bruch in die Partialbrüche 1/(1-x) und 1/(1+x).
Von diesen kannst du leicht die n-te Ableitung angeben.
    Setze die Teilergebnisse anschließend zusammen !

Das durch den Buchstaben „e“ definierte Kurvenstück läßt
sich formelmäßig beschreiben , wenn du die Bewegung
beim „Schreiben“ von „e“ in zwei Teilbewegungen in x-
und y- Richtung zerlegst ! Diese Teilbewegungen kannst
         du durch Polynome 3. Grades darstellen.


                        How to solve it

(Schule des Denkens) ist das bekannteste Buch des
Mathematikers Georg Pólya (eigentlich György Pólya)
Das Buch enthält ein ganzes Wörterbuch der Heuristik.

Polyas Bücher „Mathematik und plausibles Schließen“
und „Vom Lösen mathematischer Aufgaben“ sind
Klassiker auf dem Gebiet heuristischer Methoden.

Davis und Hersh widmen dieser Kunst Polyas in ihrem
Buch „Erfahrung Mathematik“ ein ganzes Kapitel.

Leider nehmen viele Mathematiker diese Kunst nicht
ernst , besonders seit Kurt Gödel gezeigt hat , daß es
kein System mathematischer Entdeckungen geben kann.

Nur wenig mathematisch angehauchte Bücher befassen
      sich mit dem Problem-Lösen als solchem.

Zu ihnen gehört „Problem-solving through problems“
      von Loren C. Larson (Springer-Verlag 1983).
Larson untermauert seine Vorschläge mit einer Vielzahl
            von nicht immer leichten Beispielen.

Tatsache ist , daß nur sehr bedingt gelehrt werden ,
         wie man mathematische Probleme löst !

G. Polya sagt dazu :  wenn ihr schwimmen lernen wollt ,
   dann geht mutig ins Wasser ; wenn ihr lernen wollt ,
          wie man Aufgaben löst , dann löst sie.

 


                      Klassische Heuristik

Heuristische Methoden haben die Menschen schon immer
fasziniert ; einige der hervorragendsten Mathematiker und
      Philosophen haben sich damit beschäftigt !

Archimedes von Syrakus fand mathematische Sätze durch
physikalische Überlegungen oder Analogieschlüsse.

Pappos schildert in seiner „Schatzkammer der Analyse“
           häufig angewandte Methoden.
Lullus (Llull ) verfaßte die „ars combinatoria“ und die
             „ars magna“ ( = große Kunst)

Descartes wollte eine Universalmethode zur Lösung von
Aufgaben entwickeln. Fragmente davon befinden sich
       in seinen „Regeln zur Anleitung des Geistes“

Leibniz hinterließ Fragmente einer „Erfindungskunst“. Er
ist Mitschöpfer der modernen mathematischen Symbolik

Euler erzielte bahnbrechende Resultate mit „unzulässigen“
Methoden. Auf ihn gehen viele Bezeichnungen zurück :
Funktionssymbol f(x) , ∆ (Differenz) , ∑ (Summe)....

Bolzano beschäftigte sich in seiner „Wissenschaftslehre“
          mit Logik und „Erfindungskunst“.

Georg Polya hinterließ bahnbrechende Bücher auf dem
                   Gebiet der Heuristik.

 


                            Moderne Heuristik

Seit man weiß , dass es kein System der Entdeckung geben
kann haben viele Mathematiker die Heuristik abgeschrieben.

Doch neuerdings gibt es mehrere Versuche , heuristische
Methoden auf neue Füße zu stellen , zB das Buch von
Zbigniew Michalewicz & David B. Fogel How to solve it :
Modern Heuristics Heidelberg second edition 2004

In ihrem Vorwort schreiben Michalewicz & Fogel : dieses
Buch ist ein erster Versuch einer umfassenden Darstellung
von Problemlösungstechniken für das 21. Jahrhundert.
Derartige Techniken sind eine verloren gegangene Kunst !

Es ist nie wichtiger gewesen , Probleme effektiv zu lösen !
Wir lernen fast nie über das Problemlösen nachzudenken.
Das wird sich hoffentlich ändern. Wir warten auf den Tag
wo einige Probleme in Mathebüchern anders sein werden..

Uns werden Kapitel für Kapitel Lösungen eingetrichtert. Wir
denken nicht darüber nach , ob gestellte Probleme gerade mit
den in den Büchern beschriebenen Techniken gelöst werden
sollten ! Natürlich müssen sie es ! Weshalb würde sonst das
             Problem in diesem Kapitel stehen ? !

Dies betrifft nicht nur Lehrbücher der Elementarmathematik
sondern auch viele Lehrbücher für den universitären Bereich.
Das Problem und seine Lösung sind in diesen Büchern nie
                     weit voneinander entfernt.

Es scheint jedoch , daß das nicht der richtige Weg ist , Mathe
zu lehren ! Die Beziehung zwischen Problem und Methode
sollte vom Problem und nicht von der Methode her betrachtet
werden ! Sonst bleiben die Studenten unfähig , selbst zu denken !

Dieser Sachverhalt wird durch das Problem verdeutlicht :
D sei ein beliebiger innerer Punkt im Dreieck ABC. Alles was
du tun sollst , ist zu beweisen , daß AD + DB < AC + CB !
Das Problem wurde vielen gestellt sogar Matheprofessoren.
Weniger als 5 % lösten es Problem innerhalb einer Stunde.