Variation des Problems

Wenn du zu einem Problem keinen Zugang findest , ist es
manchmal nützlich , das Problem zu variieren : betrachte
                 es von einer anderen „Seite“ :

Fünf Jäger schießen aus großer Entfernung auf einen Fuchs.
     Jeder Jäger hat 20% Chance den Fuchs zu treffen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Fuchs getroffen ?
Wenn du wenig Ahnung von Wahrscheinlichkeitsrechnung
hast , wirst du das gestellte Problem als schwierig empfinden.

Variation : Versetze dich einmal in die Rolle des Fuchses.
Er würde sich fragen , mit welcher Wahrscheinlichkeit er
nicht getroffen wird , d.h. der Fuchs würde sich überlegen :

Beim 1.Schuß werde ich mit der Wahrscheinlichkeit 0.8 nicht
getroffen. Beim 2. Schuß werde ich mit der Wahrscheinlichkeit
0.82.. und beim 5.Schuß werde ich mit der Wahrscheinlichkeit
    0.85 ≈ 0.328 nicht getroffen worden sein.

Was nützt den Jägern diese Erkenntnis des Fuchses ?
Sie überlegen : wenn der Fuchs mit der Wahrscheinlichkeit
0.328 nicht getroffen wurde , dann haben wir ihn mit der
       Wahrscheinlichkeit 1 - 0.328 = 0.672 getroffen.

 


                            Rückwärtsarbeiten

Der Weise fängt am Ende an , der Narr endet am Anfang !

Ein schönes Problem ist der größmögliche Überhang eines
   Bücherstapels (aus gleichen Büchern) auf einem Tisch :

Kann man sie so stapeln , dass das oberste Buch “frei“ über
dem Tisch hängt ? Dies scheint eine schwierige Aufgabe zu
      sein. Nicht jedoch , wenn du rückwärts arbeitest.

Fange - in Gedanken - beim obersten Buch an. Lege das
zweitoberste so darunter , dass das oberste mit halber Länge
übersteht. Das drittoberste legst du so darunter , dass das
zweitoberste um ein Viertel übersteht. Das vierte Buch wird
um ein Sechstel zurückgesetzt und das fünfte um ein Achtel.

Der Überhang des obersten Buches ist somit :
                                           1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 = 25/4 > 1
Daher schwebt das oberste Buch völlig frei über dem Tisch.

Du kannst den Bücherturm weiter bauen, wenn du jedes
weitere Buch so darunter setzt , dass der Turm hält. Dadurch
kannst du den Bücherturm beliebig weit nach außen bauen.

   c sei die Lichtgeschwindigkeit. Nach Einstein werden zwei
Geschwindigkeiten u < c und v < c nicht gemäß u + v addiert ,
sondern gemäß dem Einsteinschen Additionstheorem
                        (u + v) / (1 + uv /c2) !

Nimm Papier und Bleistift und zeige durch Rückwärtsarbeit ,
       dass auch diese Geschwindigkeit immer < c ist !

 

 

                    Modifikation des Problems

Wenn du zu einem Problem keinen Zugang findest , ist es
nützlich , es mehr oder minder stark zu modifizieren :

Behauptung : Wenn 20 verschiedene ganze Zahlen aus
der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10 .... 94 , 97, 100
entnommen werden , gibt es unter diesen mindestens
zwei (verschiedene) , deren Summe 104 ergibt.

Vielleicht kommst du nach vergeblichen Versuchen zu
folgender Modifikation : Wieviel Zahlen können maximal
aus der Folge entnommen werden , ohne daß ein Paar
        der Summe 104 auftritt ?

Zunächst können die Zahlen 1und 52 ausgewählt werden :
für sie gibt es keinen Partner , der sie zu 104 ergänzt.
Die restlichen Zahlen lassen sich zu 16 Paaren (4 100) ,
(7 97) ,.... (46 58) , (49 55) der Summe 104 arrangieren.

Es können somit insgesamt genau 18 Zahlen ausgewählt
werden , ohne daß ein Paar mit der Summe 104 auftritt.
                 Daraus folgt die Behauptung !

 

  Reduktion von Problemen

Manche Probleme lassen sich auf einfachere Probleme
zurückführen (reduzieren) , die an statt des ursprünglichen
                Problems gelöst werden.

Historisch wichtig war die Reduktion der Multiplikation
und Division von Zahlen auf Additionen (Subtraktionen)
                     mit Hilfe von Logarithmen :
log (a b) = log a + log b , log (a/b) = log a - log b.

Durch die analytische Geometrie wurden geometrische auf
algebraische Problem reduziert. Durch die Integralrechnung
wurde die Flächenbestimmung vereinfacht.

Kommst du nicht weiter , hilft manchmal die Reduktion auf
Definitionen : Zeige , daß das Integral der Funktion f(x) von
a bis a + p unabhängig von a ist , wenn f(x) eine periodische
Funktion mit der Periode p ist.


Bei der Visite in einer Irrenanstalt behauptet ein Mann stur
und steif er sei Pius XII. Der Assistenzarzt bittet den Chef :
“Überlassen Sie mir den Mann , das ist meine Spezialität”.
Der Chef lächelt ungläubig. Bei der erneuten Visite sagt der
Mann er sei Pius XI. “Sehen Sie” , triumpiert der Assistenz-
     arzt : “ Einen habe ich ihm schon weggebracht !”

 


                   Einführung von Hilfsgrößen

Durch den Punkt A(1,2,3) soll eine Gerade gezogen werden ,
die von den Punkten B(4,2,3) und C(3,-1,-5) gleichen Abstand
                                          hat !

Wo liegt der Mittelpunkt des dem Dreieck mit den Eckpunkten
A( 0 , 0) , B( 5 , 2) , C(3 , 7) einbeschriebenen Inkreises ?

Zwei vertikale Pfähle haben die Höhen h1 und h2. Von der
Spitze jedes Pfahls wird ein Seil zum Fußpunkt des anderen
gespannt. In welcher Höhe h über dem Boden kreuzen sich
                                   die Seile ?
Führe den Abstand a der beiden Pfähle als Hilfsgröße ein !
(dieser fällt am Ende wieder heraus !). Teste das Ergebnis
     für die Spezialfälle : h1 = 0 , h2 = 0 , und h1 = h2

 

 

Rückwärtsarbeiten


   Manche Probleme lassen sich am einfachsten durch
Rückwärtsarbeiten lösen. Du mußt diese Technik einüben ,
     damit sie dir in Klausuren zur Vefügung steht !

Das geometrische Mittel √(a b) positiver Zahlen a und b
ist niemals größer als ihr arithmetisches Mittel (a + b)/2.

Für positive Zahlen x , y gilt   1 / (1/x + 1/y) ≤ √(x y).

Für positive Zahlen a und b gilt (a + b)3 ≤ 4 (a3 + b3)
Anleitung : Setze oBdA a ≤ b , b = a + e , e >= 0.

Wenn a , b , c > 0 , gilt a b + b c + c a ≤ a2 + b2 + c2.

 


                           Unzulässige Methoden

spielen in Mathe ein viel größere Rolle als die meisten denken !
      Man kann mit ihnen richtige Ergebnisse gewinnen !

Leonhard Euler war ein Meister in der Handhabung unzulässiger
Methoden ; ein Analogieschluß führte ihn zur Produktdarstellung :
        sin x = x (1 - x/π)(1 + x/π)(1 – x/2π)(1 + x/2π)....
 aus der er durch Vergleich mit der bekannten Potenzreihe
sin x = x – x3 / 6 + x5 / 120 - x7 / 5040 + .... die damals unbe-
   kannte Formel π2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +...erhielt.

Natürlich wurde er von den damaligen Mathematikern heftig
          kritisiert , aber der Erfolg gab ihm recht !

Auch Physiker leiten oft richtige Ergebnisse mit unzulässigen
Methoden her , weil die dafür nötige Mathematik noch nicht
                      entwickelt worden ist !

Manchmal führen sogar Rechenfehler zum richtigen Ergebnis

   Die Gleichung 1.325x + 1.325x+1 + 1.325x+2 = 1.3256
kann so gelöst werden : x + (x+1) + (x+2) = 6 also x =1!
        die Probe zeigt , daß das Ergebnis richtig ist !