Grobrechnen


Grobrechnen
ist wichtig. Wenn du Fehler machst , weicht das
Ergebnis meist nicht nur wenig vom richtigen
Wert ab. Du solltest du die Kunst des Grobrech-
nens lernen , um deine „großen“ Fehler zu finden.
Die seltener auftretenden „kleinen“ Fehler kannst
du leichter verschmerzen :
Ein Handwerker schickt dir eine Rechnung über
1030 €. Hat er sich um 5 € zu deinen Ungunsten
verrechnet hat , bleibt der Fehler wahrscheinlich
unentdeckt ! Hat er sich aber um 300 € zu deinen
Ungunsten verrechnet , wirst du mißtrauisch und
rechnest nach ! Der Fehler kommt auf !

Übe die Kunst des Grobrechnens an Beispielen :
100 m vor dir fährt ein LKW mit 50 km/h. Wie
lange brauchst du , um ihn zu überholen , wenn
du maximal 100 km/h fahren darfst : 5 s , 10 s ,
15 s ? Wie groß ist der Überholweg : 200 m ,
400 m , 600 m ?
Auch bei der Kontrolle von Grenzwerten ist
Grobrechnen angesagt : Bestätige den Grenz-
wert lim sin(2x) / x = 2 für x → 0 durch Ein-
setzen der x-Werte 0.1 bzw. 0.01.
Du fährst auf einer 10 m breiten Straße in eine
viertelkreisförmige Kurve mit Krümmungsradius
50 m. Welche Wegstrecke sparst du ein , wenn
du die Kurve schneidest statt sie auszufahren :
1 m , 5 m , 10 m ?
Gib eine Näherungsformel für den Abstand
der Ellipsen (x - c)2 / d2 + (y - e)2 / f2 = 1
und x2 / a2 + y2 / b2 = 1 an !

  
      Kontrolle durch Grobrechnen
Grobrechnen ist eine effektive Methode , um deine
                Rechnungen zu kontrollieren :                              
 Das Produkt von 3.973 und 4.031 muß ≈16 sein !
Ist die Funktion artanh(x) = 0.5 ln((1 + x)/(1 – x))
Umkehrfunktion von tanh(x) = (e x  ­ e ­x ) / (e x  + e ­x ) ?
   Laut Definition müßte artanh(tanh(x)) = x sein!
  Dies kannst du durch Grobrechnung testen : für
   x = 2 erhältst du tanh(2) ≈ 0.9. Tatsächlich ist 
                  artanh(0.9) ≈ 2 ! 
     Leite die Funktion f(x) =  tan(x/2) nach x ab.
Kontrolliere dein Ergebnis durch Grobrechnen für 
 x = 1. Benutze hierzu die symmetrische Formel  
  df/dx ≈ (f(x+h) ­ f(x­h))/ (2 h) mit h = 0.01.

 

Übungen zum Grobrechnen
Du fährst auf einer 10 m breiten Straße in eine
viertelkreisförmige Kurve mit Krümmungsradius
50 m. Du schneidest die Kurve statt sie auszufah-
ren , wobei die Wegstrecke 80 m betragen hätte.
Schätze ab , welche Wegstrecke du eingespart hast
1 m , 5 m , 10 m ?
Vor deinem PKW fährt im Abstand 100 m ein 10 m
langer LKW mit der Geschwindigkeit 50 km/h. In
welcher zeit kannst du den LKW überholen , wenn
du maximal 100 km/h fahren darfst ? 5 , 10 , 15 s ?
Wie groß ist der Überholweg ? 200 , 400 , 600 m ?
Nimm an , daß du in vernachlässigbarer Zeit von
50 km/h auf 100 km/h beschleunigen kannst.
Ein Seil , mit Endpunkte in gleicher Höhe , über-
spannt eine 500 m breite Felsenschlucht. Wie lang
muß das Seil sein , wenn es 50 m durchhängt ?
510 m , 550 m , 600 m ?
Versuche das Integral 01 x ln(1+x) dx abzu-
schätzen ! Abschätzung 0.1 < I < 0.35
Abschätzungen sind wichtig ; sonst mußt du dich
oft auf dein Ergebnis verlassen ! Je besser du ein
Ergebnis abschätzen kannst , desto besser kannst
du es kontrollieren !