Hilfsgrößen

Jeder Koch weiß , daß es auf die richtigen Zutaten ankommt.
Zutaten in Mathe werden auch als Hilfsgrößen bezeichnet.
Durch ihre Einführung erkennst du besser , wie die Daten
        und die gesuchte Lösung zusammenhängen.
  
Hilfsgrößen sind so etwas wie „Krücken“ beim Problemlösen.
Sobald du zur Lösung gelangt bist , legst du die Krücken auf
         die Seite. Sie sind überflüssig geworden.

Durch Einführung von Hilfsgrößen kannst du Probleme lösen ,
von denen viele meinen , dass Spezialkenntnisse nötig seien :
    Wie groß ist der H-C-H - Winkel im CH4 - Molekül ?

    Da H-Atome identisch sind , sind die H-C-H-Winkel alle
gleich groß. Das Molekül läßt sich in einen Würfel einbetten ,
wobei das C-Atom im Zentrum des Würfels sitzt und die
4 H-Atome in vier der acht Eckpunkte des Würfels liegen.
Jetzt kannst du das Problem mit den Hilfsmitteln der
                    Vektorrechnung lösen.

Hilfsgrößen sind der Dosenöffner zu vielen Problemen :
Wie lautet das unbestimmte Integral der Funktion 1/sin x ?
       Welche Hilfsgröße ist nützlich ? t = arcsin x ?

 


       Variation des Problems

Wenn du zu einem Problem keinen Zugang findest , ist es
manchmal nützlich , das Problem zu variieren : betrachte
                 es von einer anderen „Seite“ :

Fünf Jäger schießen aus großer Entfernung auf einen Fuchs.
     Jeder Jäger hat 20% Chance den Fuchs zu treffen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Fuchs getroffen ?
Wenn du wenig Ahnung von Wahrscheinlichkeitsrechnung
hast , wirst du das gestellte Problem als schwierig empfinden.

Variation : Versetze dich einmal in die Rolle des Fuchses.
Er würde sich fragen , mit welcher Wahrscheinlichkeit er
nicht getroffen wird , d.h. der Fuchs würde sich überlegen :

Beim 1.Schuß werde ich mit der Wahrscheinlichkeit 0.8 
nicht

getroffen. Beim 2.Schuß werde ich mit der Wahr-

scheinlichkeit 0.82.. und beim 5.Schuß werde ich mit der

Wahrscheinlichkeit 0.85 ≈ 0.328 nicht getroffen worden sein.

Was nützt den Jägern diese Erkenntnis des Fuchses ?
Sie überlegen : wenn der Fuchs mit der Wahrscheinlichkeit
0.328 nicht getroffen wurde , dann haben wir ihn mit der
       Wahrscheinlichkeit 1 - 0.328 = 0.672 getroffen.

 

      

                           Divide et impera


(deutsch : teile und herrsche) ist eine Strategie zur Teilung
von Problemen in kleinere , einfacher und schneller zu
                     lösende Teilprobleme :

Wie lautet die n-te Ableitung der Funktion f(x) = 2/(1- x2) ?

  Du kannst das Problem durch Bilden der Ableitungen
df/dx = -2 x/(1 - x2)2 , d2f/dx2 = blabla/(1 - x2)3 , d3f/dx3 =
blabla/(1- x2 )4 usf...induktiv anzugehen , in der Hoffnung
ein Muster zu erkennen. Doch statt in einem Muster endet
            das ganze immer mehr im Chaos !

Zerlege den Bruch in die Partialbrüche 1/(1-x) und 1/(1+x).
Von diesen kannst du leicht die n-te Ableitung angeben.
    Setze die Teilergebnisse anschließend zusammen !

Das durch den Buchstaben „e“ definierte Kurvenstück läßt
sich formelmäßig beschreiben , wenn du die Bewegung
beim „Schreiben“ von „e“ in zwei Teilbewegungen in x-
und y- Richtung zerlegst ! Diese Teilbewegungen kannst
         du durch Polynome 3. Grades darstellen.