Fehlervermeidung

ist mehr eine Kunst als eine Wissenschaft ! Deshalb
findest du in deinen Mathebüchern kaum etwas zu
                     diesem Thema.

Versuche Fehler zu vermeiden , bevor sie auftreten.
Ist der Schaden erst einmal da , ist er hinterher nur
                mit Mühe zu beheben !

Allgemein bekannt sind Fallunterscheidungen :
Löse die Ungleichung (x - 1) ( x + 2) > 0 :Für x > 1
muß x + 2 > 0 sein. Für x < 1 muß x + 2 < 0 sein.
Lösungsmenge : L = {x│x < -2 oder x > 1}

Was kannst du sonst tun , um Fehler zu vermeiden ?

Orientiere dich an einfacheren Problemen
        Achte auf irreversible Schlußketten
              Rechne - soweit möglich - allgemein
                  Vereinfache Ausdrücke rechtzeitig
                         Achte auf eine gute Notation


                     Rechne möglichst allgemein

Das Rechnen mit Zahlen ist dir von den ersten Schul-
jahren an vertraut. Dagegen hast du das Rechnen mit 
Symbolen (Algebra) erst viel später und gegen anfäng-
            lichen Widerstand gelernt.

Warum sollte das Rechnen mit Symbolen wichtig sein ,
wenn du nur an einem Zahlenergebnis interessiert bist ?

Wenn du zu den „hartnäckigen“ Leuten gehörst , die
in der Klausur  schreiben : d sin(3 x) / dx = cos (3 x) ,
    hast du wenig Chancen , den Fehler zu entdecken.

Vermutlich hättest du denselben Fehler auch bei einer
Variablisierung  gemacht : d sin(a x) / dx = cos (a x) !
Aber jetzt kannst du den Fehler entlarven ! Öffne 
     das Arsenal der Fehlererkennungsmethoden :

Im Spezialfall a = 0 ist d sin(0 x)/dx = d 0/dx = 0 , 
anderseits ist cos 0 = 1 ! Widerspruch ! Mit dem
Fehler im Nacken mußt du noch einmal nachdenken.

Rechnungen allgemein „durchzuziehen“ lohnt sich , 
weil Formeln aussagekräftiger als Zahlen sind !

 

 

 Achte auf eine gute Notation
  Es mag dich überraschen , daß Notationen bei der
Fehlervermeidung eine Rolle spielen , denn du denkst :
es geht um den Inhalt und nicht die äußere Form !

Daß das eine Fehleinschätzung ist , wird dir schnell klar ,
wenn du an die Addition der Zahlen 2341 und 5676 im
arabischen und im römischen Zahlensystem denkst !

Leibniz hat als einer der ersten auf die Bedeutung einer
guten Notation hingewiesen ! Später hat dies auch der
Physiker Werner Heisenberg getan.

Eine gute Notation soll mnemotechnisch und „heuristisch“
gesehen günstig sein : Verwende leicht zu merkende und
selbsterklärende Abkürzungen : v = velocity , p = pressure
a = acceleration , ....

Bevorzuge eindeutige Schreibweisen : Schreibe x3 statt x3 ,
um Verwechslungen mit x ∙ 3 vorzubeugen.
Schreibe sin(x) und ln(x) statt sin x und ln x ! Beim Einsatz
von Formelmanipulationssystemen mußt du dich eh an
         diese Schreibweisen gewöhnen !

Setze lieber eine Klammer zuviel als eine zu wenig !
Besonders , wenn negative Zahlen als Faktoren auftauchen.

Beispiele guter Notation sind dy/dx = dy/du du/dx und
und dx/dy = 1 / (dy/dx) obwohl Ableitungen eigentlich
keine Brüche sind !

 

 

              Arbeite möglichst reversibel

Wenn du ein Gewicht hochhebst , kannst du es hinterher
wieder absenken. Der Vorgang ist umkehrbar (reversibel).

Wenn du dagegen eine Katze totfährst , kannst du sie nicht
wieder lebendig machen. Der Vorgang ist irreversibel.

Viele Fehler beruhen darauf , daß reversible und irrever-
       sible Vorgänge nicht unterschieden werden.

Die Umformung von x + 3 = 5 in x = 5 - 3 ist reversibel.
Aus α = 30o kannst du schließen , daß sin α = 0.5 ist. Leider
kannst du diesen Schluß nicht umkehren : Aus sin α = 0.5
folgt nicht , daß α = 30o ist ! α könnte auch 150o sein.

Wenn du bei der Umformung von Gleichungen nur reversible
Schritte durchführst , bewegst du dich auf sicherem Gelände.

Leider kommst du beim Lösen von Gleichungen nicht immer
mit reversiblen Umformungen durch. Um Wurzelgleichungen
zu lösen , mußt du diese quadrieren. Dadurch gehen zwar
keine Lösungen verloren , aber es kommen “neue” hinzu.