Fehlerursachen

sind so vielfältig wie die Fehler selbst. Du lernst
nie aus ! Selbsterkenntnis ist gefordert !

Wichtige Fehlerursachen sind :
gleiche Bezeichnung für verschiedene Dinge.
Mehrdeutigkeiten und Verwechslungen
Regelverstöße und Unachtsamkeit
Ungeprüfte Voraussetzungen ,
Unbewußte Annahmen...

Das ParetoPrinzip besagt , dass ca. 20 % der Fehler-
ursachen 80 % der von dir gemachten Fehler
nach sich ziehen.

 

Fehlerursache multitasking

Ein LKW-Fahrer hält in der linken Hand sein
handy , in der rechten seine Butterstulle , er
liest die Zeitung und hört dazu Musik. Frage :
wer lenkt den LKW ? Der LKW-Fahrer baut
wahrscheinlich einen Unfall. Unfälle in der
Mathematik nennt man Fehler !

Laß die Finger davon , zu viel auf einmal zu
machen , auch wenn der Zeitdruck groß ist !

Forme das Polynom 3 x - (x - 2) (1 - 2 x) in die
Gestalt a + b x + c x 2 um , ohne Zwischener-
gebnisse aufzuschreiben. Teste dein Ergebnis
für x = 0 , x = 1, x = 2 !

Solche Fehler werden weniger von Anfängern
gemacht. Es ist wie beim Drängeln im Verkehr :
Anfänger sind meist vorsichtiger !

Wiederhole das ganze : multipliziere zunächst
(x - 2) (1 - 2 x) , setze das berechnete Produkt in
Klammer um Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Wiederhole den Test für x = 0, 1, 2 !

Die erste Vorgehensweise ist nicht nur riskant ,
sie ist auch unökonomisch ! Wenn du deine
Rechnung kontrollieren willst ,fehlen wichtige
Zwischenergebnisse. Eine Fehlersuche ist wie
die Suche nach einer Nadel im Heuhaufen !

 

Fehlerursache Mehrdeutigkeiten

In der Zeitung steht : „Justiz ermittelt nach Todes-
schüssen gegen Polizisten“. Hat nun der Polizist
geschossen oder war er selbst Ziel des Angriffs ?

Mehrdeutigkeiten kommen auch in Mathe nicht
selten vor : sie sind Ursache gravierender Fehler !

Du ärgerst dich , wenn unterschiedliche Dinge
gleich bezeichnet werden. Du mußt dann aus
dem Zusammenhang erraten was gemeint ist.

Du mußt eindeutige (zB sin x) und mehrdeutige
Funktionen (zB arcsin x) unterscheiden ! cos -1 x
kann man als 1/cos x oder arccos x deuten !

Du erlebst böse Überraschungen , wenn du
gleiche Symbole für unterschiedliche Dinge
verwendest :
Du willst eine Tangente vom Koordinatenur-
sprung an die Kurve y = ln x legen. Du setzt
die Steigung der Tangente 1/x in die Punkt-
Steigungs-Form ein : (y - 0)/( x - 0) = 1/x.
Das Ergebnis y=1 macht dich stutzig. Das ist
nicht die Gleichung der gesuchten Tangente !

Bei der Entbindung der attraktiven Frau Wunder
hört der Assistenzarzt den Chef murmeln :
„Wenn ́s ein Wunder ist , ist ́s ein Wunder.
Wenn ́s kein Wunder ist , ist ́s kein Wunder !“

Dieses Wortspiel zeugt vom Beziehungsreich-
tum der Umgangssprache. Demgegenüber ist die
Sprache der Mathe eindeutig aber beziehungsarm.

 

Fehlerursache : Konventionen

Dir drohen Unannehmlichkeiten , wenn du
dich nicht an gesellschaftliche Übereinkünfte
(Konventionen) hältst.

Warum glaubst du ausgerechnet in Mathe
ungestraft davonzukommen , wenn du dich
nicht an sie hältst ?

Frage nicht , ob Konventionen sinnvoll sind
(oft sind sie es eher nicht) ; sie sind da und
wenn du sie mißachtest , schreibst du in der
Klausur schlechte Noten.

Es spielt keine Rolle , ob du die Konventionen
nicht kennst oder sie nur nicht beachtest :
Unkenntnis schützt nicht vor Strafe. Mit Logik
kommst du da nicht weiter.

(1 + x) 3/2 = (1+ x)3 / 2 ?
Potenzieren hat Vorrang vor der Division !

d sin (1 + x2) / dx = cos (1 + x2) ?
sin(1+ x2) ist eine mittelbare Funktion !

d x x /dx = x x x-1 ? Die Potenzregel gilt nur für
konstante Exponenten ! richtig ist (1 + ln x) x x !

 

 

Fehlerursache Verwechslungen

 1/cos(x) wird oft mit arccos(x)  verwechselt
weil für beide Ausdrücke nicht selten die irre-
führende Schreibweise cos -1 x verwendet wird.

In Klausuren werden leicht ähnlich aussehende
Rechenregeln verwechselt : ln x + ln y = ln (x y)
und ln x + ln y = ln (x + y). Welche ist richtig ?

Auf Computern kann leicht Grad- und Bogenmaß
verwechselt werden. d sin x/dx = cos x gilt nur im
Bogenmaß ! Wie lautet die entsprechende Formel
im Gradmaß ?

Hinreichend und notwendig werden verwechselt ,
obwohl in allen Mathebüchern davor gewarnt wird.

Verwechslung von Konstante und Variable ist oft
Ursache von Fehlern bei der Integralrechnung.

Manchmal werden Rechenregeln fürs Integrieren
und Differenzieren verwechselt : ∫x 4 dx = 4 x 5 ?

f(x) sei definiert durch f(0) := 0 , f(x) := x f(x – 1).
Jemand löst die Bestimmungsgleichung f(x) = x2
so : x2 = x (x – 1)2 , x = (x - 1)2 , x = 3/2 +- √5/2 ?

Die l ́Hospitalsche Regel wird gelegentlich mit der
Quotientenregel beim Differenzieren verwechselt !

 


       Fehlerursache vorschnelle Verallgemeinerung

Berechnest du P(0) = 17 , P(1) = 19 , P(2) = 23 , P(3) = 29 ,
P(4) = 37 , P(5)= 47...nach der Formel P(n) = n2 + n +17
erhältst du lauter Primzahlen ! Du darfst nicht vorschnell
verallgemeinern : P(17) = 323 = 17*19 ist keine Primzahl !

In den anfangs leeren Hochbehälter eines Pumpspeicher-
werks mit der Kapazität 350.000 m3 werden pro Nacht
50.000 m3 Wasser hochgepumpt. Tagsüber fließen 40.000
m3 Wasser zur Stromerzeugung in die Turbinen. Wieviele
Tage dauert es , bis der Hochbehälter erstmals bis zum
                        Rande gefüllt ist ?

Du überlegst : Jeden Tag kommen 10.000 m3 Wasser hinzu.
Demnach müßte der Hochbehälter am 35. Tag voll werden.
Du hast vorschnell verallgemeinert : Im Hochbehälter sind
bereits am Abend des 30.Tages 300.000 m3 Wasser !