Fehlersammlungen

Als Schüler besitzt du eine Formelsammlung
da sie in den meisten Prüfungen zugelassen ist.
Besitzt du auch eine Fehlersammlung ?

Es gibt viele Formelsammlungen aber kaum
Fehlersammlungen wie das Buch von W.
Lietzmann : “Wo steckt der Fehler ?”

Es ist überliefert , dass bereits Euklid eine
Fehlersammlung (Pseudaria) angelegt hat.
Leider ist diese verloren gegangen.

Die folgende Fehlersammlung kann beliebig
erweitert werden. Vielleicht legst du dir eine
eigene Fehlersammlung zur Vermeidung von
Fehlern an.

Fehler werden im Unterricht nur sehr selten
thematisiert. Das in ihnen liegende Lernpotential
verschwindet wie ein Schiff oder Flugzeug im

Bermudadreieck
 

                Fehlerhafte Ableitungen

In deinen Mathebüchern steht fast alles über
Ableitungen , nur nicht (für Klausuren wichtig !)
wie du sie überprüfen kannst. Dabei passieren
   gerade  beim  ableiten viele Fehler !

Ableitungen sind tückisch : wir raten zu einer
numerischen Kontrolle (wenn du unsicher bist).

Die Formel df / dx ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2 h) ist
   viel besser als die in den meisten Büchern
stehende Formel df / dx ≈ (f(x + h) - f(x)) / h !

f(x) = xx , df/dx = (1 + ln x) xx , f ́(2) = 6.7726 ?
    für h = 0.01 ergibt sich f ́(2) ≈ 6.775
    für h = 0.001 ergibt sich f ́(2) ≈ 6.7725

   Leite 1/(5 - (2 - x-2)-3) ab. Ein Horrortrip!

Du mußt höllisch auf die Vorzeichen aufpassen !
     Teste dein Ergebnis numerisch für x = 1 !

    Übe für die Klausur an anderen Beispielen !

 

      Fehlerhafte Integrationen

   ­-11 dx/(1 + x2)  = [ln (1 + x2]-11 =  ln 2 – ln 2 = 0 ? 

  Die Funktion f(x) = 1 / x2 besitzt die Stammfunktion
F(x) = ­ 1/x. Also ist  -­11 dx/x2 = F(1) - F(-­1) = -2 ?
Das negative Ergebnis macht stutzig ! Da der Integrand 
1/x2  nie negativ wird  hättest du einen positiven Wert 
            erwartet: Was ist schiefgelaufen ?

Die Funktion f(x) und deren Stammfunktion F(x) sei
definiert durch  f(x) = 1 , d.h. F(x) =  x für  0 ≤  x < 1  
  f(x) = ­ -2 + 2 x , d.h. F(x) = ­ -2 x + x2  für 1 ≤ x ≤ 2 
     also ist 02 f(x) dx = F(2) – F(0) = 0 – 0 = 0 ??


  Trugschlüsse

Die Geschichte der Trugschlüsse ist genauso wichtig
wie die Geschichte der Vorwärtsbewegung zur Wahrheit.

Aus Trugschlüssen kannst du viel lernen , vor allem ,
wenn du selbst erarbeiten mußt , was schief gelaufen ist :

Aus 3 ln/1/2) > 2 ln(1/2) folgt ln(1/2)3 > ln(1/2)2 ,
        also (1/2)3 > (1/2)2 d.h. 1/8 > 1/4 ?
Für natürliche Zahlen n ist 2n +1 ungerade. Also gilt
(-1)2n+1 = -1 folglich (2n +1) ln(-1) = ln (-1) also
              2 n + 1 = 1 , d.h. 2 n = 0 ?

Es gilt 4 € = 400 ct folglich √4 € = √400 ct
                also 2 € = 20 ct ?

Aus a · c = 2  und b · c = 2 folgt a = b ?

Aus (3/4)x = (4/3)7 ergibt sich 3x+7 = 4x+7 woraus
sich , da die Exponenten gleich sind , 3 = 4 ergibt.

 

Fehler in Formelsammlungen

Im Taschenbuch mathematischer Formeln von
Stöcker (Seite 86 , 3. Auflage) findest du die
fehlerhafte Formel A = a2 / (cot(α) + cot(β))
zur Berechnung der Fläche A eines Dreiecks
mit der Seite a und den Winkeln α und β : die
Winkel dürfen nicht symmetrisch eingehen !

Hingegen zeigt A = c2/(cot(α) + cot(β)) eine
erwartete Symmetrie : die Winkel α und β
liegen an der Seite c ; die Fläche A ändert
sich beim Vertauschen von α und β nicht.

Herausgeber von Formelsammlungen sollten
sich nicht darauf verlassen , daß Fehler ohne-
hin entdeckt würden (wie dies bei mancher
software gang und gäbe ist !)

Wenn Formelsammlungen in Zukunft fast
fehlerfrei sein werden , kannst du dich auf
die befriedigendere Tätigkeit , eigene
Fehler zu finden konzentrieren !

       

            Fehlerhafte Schlüsse

   Es gilt : tan(2β) = 2 tan β/(1 – tan2β) ,also schließt
du tan(4β) = 4 tan β/(1-tan4β) ? Was ist falsch daran ?

Was ist wahrscheinlicher ? Mit 6 Würfeln genau eine Sechs
zu würfeln oder mit 12 Würfeln genau zwei Sechsen ?

Viel antworten , dass die Wahrscheinlichkeiten gleich seien
weil sie wahrscheinlich und durchschnittlich verwechseln !

Die Wahrscheinlichkeit , mit 6 Würfeln genau eine Sechs
zu würfeln ist 0.4019. Die Wahrscheinlichkeit , mit 12
Würfeln genau 2 Sechsen zu würfeln ist dagegen 0.2961 !