Wie kannst du Fehler korrigieren ?

Hast du einen Fehler gemacht , möchtest du ihn natürlich
korrigieren. Was findest du dazu in deinen Mathebüchern ?

Wenn du einen Fehler lokalisieren kannst , ist er meistens
leicht zu beheben. Viele Fehler sind Flüchtigkeitsfehler :
Du hast an einer bestimmten Stelle nicht aufgepaßt !

Was kannst du tun , um Fehler zu beheben , die du nicht
lokalisieren kannst und deren Ursache du nicht kennst ?

So seltsam es klingt : Mit der Feststellung eines Fehlers
hast du oft schon den ersten Schritt zu seiner Behebung
getan ! Du benutzt einfach die Methode , mit der du ihn
entdeckt hast , um dich selbst aus dem Sumpf zu ziehen.
     Du mußt nicht auf deinen Fehlern sitzen bleiben.

   Korrigierte Ergebnisse solltest du konsolidieren !
    (konsolidieren = erhärten , festigen , sichern)

 

        Korrektur von Asymmetrien

Formeln mit unerwarteter Asymmetrie lassen
oft symmetrisieren. Dies führt meistens zum
richtigen Ergebnis , wenn du nur einen Fehler
begangen hast. Wie bei jeder Korrektur muß
das neue Ergebnis konsolidiert werden zB
   durch Betrachtung eines Spezialfalls.

Die Formel r = 2 A / (a + 2 b + c) für den
Inkreisradius r eines Dreiecks mit Fläche A ,
Seiten a, b , c ist falsch. Wenn sie nur einen
Fehler enthält , kann sie eigentlich nur
r = 2 A/( a + b + c) lauten. Konsolidierung
          durch den Spezialfall c = 0.

(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 6 a b 3 + b 4
zeigt eine Asymmetrie. Du kannst die Formel
         auf zwei Arten symmetrisieren :

(a + b)4 = a 4 + 6 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 6 a b 3 + b 4
(a + b) 4 = a4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4
           Welche Formel ist richtig ?

Am Spezialfalls f(x) = x erkennst du , daß die
Formel f ́ ́(x) ≈ (f(x-h) - 2 f(x) + 2 f(x+h)) / h2
zur näherungsweisen Berechnung der zweiten
Ableitung einer Funktion f(x) falsch ist.

Korrigiere die Formel durch Symmetrisierung.
Nimm an , daß nur ein Koeffizient falsch ist.
     Konsolidiere die korrigierte Formel !

 


                        Corriger la fortune...

Laß dich nicht davon abhalten , Fehler auch ohne vorherige
Lokalisierung zu beheben , auch wenn das ein bißchen nach
             „corriger la fortune“ aussieht !
      Du mußt nicht auf deinen Fehlern sitzen bleiben !

Die dimensionsmäßig falsche Formel d ln(a x) / dx = 1/(a x)
kannst du leicht richtigstellen , wenn du für die richtige
Dimension sorgst : d ln(a x) / dx = 1 / x ; die Formel kann
      durch ln(a x) = ln a + ln x konsolidiert werden.

Die falsche Singularität (an der Stelle x = π/4 ) in der Formel
I(x) = ∫ dx/(1 + cos x) = tan(2 x ) kannst du korrigieren ,
indem du für die richtige Singularität sorgst : I(x) = tan (x/2)

Manchmal gelingen Fehlerbehebungen auf heuristischer
Basis , auch wenn du wenig Ahnung von dem betreffenden
                             Fachgebiet hast.

Gewagt ist es , falsche Vorzeichen einfach umzukehren.

 


                      Korrektur en detail

Eine Detailanalyse ist nützlich , wenn du den Suchraum
für deinen Fehler bereits eingeschränkt hast , oder wenn
du eine Vermutung hast , wo der Fehler passiert ist.

Wenn du häufig Ableitungsfehler machst , wirst du dich
darauf konzentrieren , deine Ableitungen zu überprüfen :
Wenn die Ableitung d sin(3 x)/dx = cos(3 x) richtig ist ,
müßte sie an der Stelle 0 den Wert 1 haben. Bildest du
den Differenzenquotienten (f(x+h) - f(x))/h für h = 0.1 ,
  erhältst du einen von 1 völlig verschiedenen Wert.

Damit ist der Fehler zwar noch nicht behoben , obwohl
die Behebung in diesem Fall relativ naheliegend ist. In
jedem Fall weißt du jetzt wo der Fehler liegt und solltest
nochmals über deine Ableitungsmethoden nachdenken.

Voraussetzung für den Erfolg einer Detailanalyse ist ,
daß du deine Rechenschritte sorgfältig dokumentierst !

 

 Korrektur durch Trendumkehr

Zeigt ein Ergebnis einen falschen Trend , kannst du es
manchmal korrigieren , indem du den Trend umkehrst.
Jedoch solltest du die neue Formel konsolidieren ,
         d.h. mit anderen Methoden testen !

Die Formel sa2 = (2 (b2 + c2) + a2) / 4 für die Seiten-
halbierende sa im Dreieck mit Seiten a , b , c zeigt
einen falschen Trend : sa muß bei festen Werten von
      b und c mit wachsendem a abnehmen.

Die neue Formel : sa2 = (2 (b2 + c2) - a2) / 4 ergibt
  für a = b + c , b = c den richtigen Wert sa = 0.

 

             Korrektur fehlerhafter Negationen

Bei der Negation von Aussagen passieren viele Fehler.
Wie lautet die Negation der Aussage : „Wenn es Nacht ist ,
              dann schlafen die Hühner“ ?

Kannst du sehen , dass die vorgeschlagenen Negationen
„wenn es Nacht ist , schlafen die Hühner nicht“
„wenn es nicht Nacht ist , schlafen die Hühner“
„es ist Tag und die Hühner schlafen nicht“ falsch sind ?

Führe aussagenlogische Variable ein , p : „es ist Nacht“..
usw. Überprüfe deine Negation mit Hilfe einer Wahr-
heitstabelle ! Ist die Antwort „es ist Nacht und die
           Hühner schlafen nicht“ richtig ?

Probleme gibt es auch mit der verbalen Negation des
        Satzes „Alle Chemiker sind musikalisch“
   „Kein Chemiker ist musikalisch“ ist eine falsche
     Negation ! Wie lautet die richtige Negation ?