Fehlerentdeckung

Motto von Jercy Lec : “Unter allen mensch-
lichen Entdeckungen sollte die Entdeckung
     der Fehler die wichtigste sein !”

Bevor du versuchst , Resultate zu verifizieren ,
solltest du erst versuchen , sie zu falsifizieren.
Falsifikation ist im Unterschied zur Verifika-
tion ein destruktiver Prozeß. Es ist leichter ,
ein Haus niederzureißen als es aufzubauen !

Du benötigst nur Bruchteile der Zeit , die du
benötigst , um das Ergebnis herzuleiten !
     Genau das richtige für Klausuren !

Du gewinnst immer : Entdeckst du keinen
Fehler ist das Resultat wahrscheinlich richtig !
Entdeckst du Fehler , hast du die Chance , sie
dingfest zu machen und zu korrigieren !
Warum solltest du deine Fehler nicht selbst
finden , bevor sie der Lehrer findet ?

Fehlerfinden ist mehr Kunst als Wissenschaft.
Es gibt keine universelle Methode , Fehler zu
finden ! Es gibt aber einfache Methoden , mit
deren Hilfe du vielleicht 20 % deiner Fehler
              entdecken kannst !

 

           Achte auf Spezialfälle

Es ist einfach , Ergebnisse durch Betrachtung von
Spezialfällen zu falsifizieren : du bist dabei sogar
weitgehend unabhängig von Vorkenntnissen :
0 e- x  sin(a x) dx = 1 / (1 - a2 ) ? Setze a = 0 !
  Das war`s !

Auch mit wenig Ahnung von Differentialrechnung
kannst du die Formel d sin(a x) / dx = cos(a x)
leicht falsifizieren : Betrachte den Spezialfall a = 0 !

Da man oft durch Einsetzen von 0 zum „Erfolg“
gelangt , spricht man von der Null-Einsetz-Methode.

Manchmal mußt du mehrere Spezialfälle betrachten :
   0 (sin(ax) – a sin(x)) dx/x2  = - ln a ?
Die Formel sieht für den Spezialfall a = 1 richtig aus.
Wie sieht es für den Spezialfall a = 0 aus ?

Ein Prof war berüchtigt dafür , Studierende in seinen
Seminaren zu „zerlegen“. Oft sagte er plötzlich im
Brustton der Überzeugung : „das muß falsch sein !“
Die Vortragenden waren fassungslos , da sie glaubten
das vorgetragene besser zu durchblicken als der Prof...

 

Fehlerfinden durch Symmetriebetrachtung

Symmetrien werden durch Rechenfehler fast immer
    zerstört. Das kannst du dir zunutze machen !

Die Formel (a + b x) 2 = a 2 + 2 a b x + b x 2 ist falsch ,
     da sie eine Asymmetrie (welche ?) zeigt !

Die Funktion ln ((cx + d) / (ax + b)) kann nicht das
Integral der Funktion 1 / ((ax + b) (cx + d)) sein !

Wo liegt der Schnittpunkt der Gerade mit den Gleich-
ungen x / a + y / b = 1 und x / c + y / d =1 ? Zeigen
        sich die erwarteten Symmetrien ?

 

           Achte auf Singularitäten

Bei Fehlern treten zu erwartende Singularitäten
entweder gar nicht oder an falscher Stelle auf :

In der 15. , 17. , 19. und 21. Auflage der Formel-
sammlung Bartsch findest du die falsche Formel
0π dx /(a + b cos x) = π/√(a2 + b2) für a > b > 0
  Der Fehler wäre sicher früher entdeckt worden ,
wenn die Leser für Singularitäten sensibilisiert
                   gewesen wären !

Die Formel sin2x = tan2x / (1 - tan2x) ist falsch !
                   Stelle sie richtig.

Die Formel ∫tan(x) dx = - ln| sin x | zeigt eine
unerwartete Singularität. Stelle sie richtig !

Welche Singularität muß die Formel für den
Schnittpunkt der Gerade y = 1+ a x und
              y = 1+ b(x-1) zeigen ?

 

 

  Fehlerfinden durch Trendanalyse

Ein für Spezialfälle richtig erscheinendes Ergebnis
kann immer noch falsch sein ! Hier setzt die Trend-
analyse ein : Wie ändert sich das Ergebnis , wenn
du die Parameter änderst ? Steigt oder fällt es ?

Der Ankreis zur Seite c eines Dreiecks berührt
diese sowie die Verlängerungen der Seiten a und b.
Warum kann die Formel R = A / (a + b + c) für den
Ankreisradius (Dreiecksfläche A) nicht richtig sein ?
Anleitung : Was passiert wenn eine Dreiecksseite
zunimmt , während die anderen konstant bleiben ?
      Betrachte auch den Extremfall a + b = c !

Warum kann die Formel d cos(a x)/dx = - sin (a x)
nicht richtig sein ? Anleitung : Was passiert , wenn
       a betragsmäßig immer größer wird ?

 

         Achte auf Vorzeichen

Die Formel (f/g) ́ = (f ́g + f g ́) / g 2 zum
Diffenzieren des Quotienten f / g ist falsch !

∫ln x dx = x +- x ln x ? Welches Vorzeichen
ist richtig ? Hinweis : was passiert für
                       großes x ?

Für die Fallstrecke h eines Steines in einen
Brunnen gilt : h = 0.5 g (t – h/c)2.(hierbei ist
t = Fallzeit , c = Schallgeschwindigkeit ,
         g = Erdbeschleunigung).

Warum ist das Vorzeichen in der Näherungs-
formel h ≈ g t2/2 + g2 t3 / (2 c) falsch ?

Die Formel dcos3 x/dx = 3 cos2 x falsch !

      Hinweis : achte auf die Parität !

 

           Achte auf Dimensionen

    Dimensionsfehler sind leicht zu finden :

Die Formel d ln (a x) / dx = 1/( a x) ist falsch !
Grund : Das Differential d ln (a x) ist ebenso wie
die Funktion ln (a x) dimensionlos. Interpretiere
   x und damit das Differential dx als Länge !

a arctan (a x) kann nicht das unbestimmte Integral
der Funktion 1 / (x 2 + a 2 ) sein ! Zur Dimensions-
analyse brenötigst du keine Kenntnisse aus der
                 Integralrechnung !

 

          Achte auf Größenordnungen

Hast du einen Fehler gemacht , weicht dein
Resultat meist nicht nur wenig vom richtigen
Wert ab. Nach „Murphys Gesetzen“ liegt es
            meistens gründlich daneben !

Du fährst auf einer 10 m breiten Straße in eine
viertelkreisförmige Kurve mit Radius 50 m. Du
schneidest die Kurve statt sie auszufahren. Die
eingesparte Strecke kann nicht 100 m betragen !

Ein 50 m durchhängendes Seil , das eine 500 m
breite Schlucht überspannt , kann nicht 600 m
                lang sein ! warum ?

Die Fläche zwischen den Kurven y = cos x und
y = x2 kann nicht 2 Flächeneinheiten betragen !