Die Kunst der Entdeckung

Millionen Studenten werden in Hörsälen betrogen :
Sie werden aufgrund der gängigen Ideologie um die
Erfahrung gebracht , selbst was entdecken zu können !

Georg Pólya hat sich in “How to solve it” intensiv
mit der Kunst der Entdeckung befaßt. Seine Bücher
“Mathematik und plausibles Schließen” und “Vom
Lösen mathematischer Aufgaben” (jeweils 2 Bände)
sind Klassiker auf dem Gebiet der Heuristik.

Die Gesetze der Physik und Chemie wurden induktiv
entdeckt. Aber ausgerechnet bei Entdeckungen in der
Mathematik soll Induktion keine Rolle spielen ?

Auf dieser Seite findest du neue Näherungsformeln
für den Umfang von Ellipsen und
das Volumen von Ellipsoiden

Wir betrachten Entdeckungen durch Außenseiter
Entdeckungen durch Experimente und
Entdeckungen durch Beobachtung

 

               Außenseiter

Außenseiter werden oft von Experten belächelt,
da sie oft keine Spezialkenntnisse besitzen.
Doch viel Wissen ist nicht immer gut , wie die
Blindheit der Experten zeigt.

Der Amateur (Außenseiter) Taylor nahm an , daß
der Radius r des Feuerballs einer Atomexplosion
außer von der verflossenen Zeit t von der Energie
W und der Luftdichte ρ abhängt.

Aus dem Ansatz r = const Wa tb ρc erhielt er
durch Dimensionanalyse die Werte a = 1/5 ,
b = 2/5 und c = -1/5.

Der Radius der Explosionswelle sollte demnach
zeitlich mit der Potenz 2/5 - nicht wie früher
angenommen linear mit t) wachsen. Genau dies
konnte Taylor bestätigen , als 1950 die Bilder
der ersten Atomtests freigegeben wurden....

Als Marconi versuchte , elektromagnetische
Wellen drahtlos über große Entfernungen zu
senden , wurde er von Experten ausgelacht.
Sie versicherten , daß sich elektromagnetische
Wellen geradlinig fortpflanzen und nicht der
Krümmung der Erde folgen. Vom logischen
Standpunkt betrachtet waren die Fachleute
völlig im Recht.

Marconi blieb hartnäckig und hatte Erfolg.
Weder er noch die Experten wußten , daß es
in den oberen Schichten der Atmophäre eine
„leitende“ Schicht gibt , die die Wellen reflek-
tiert.....So kam Marconi durch eine falsche
Annahme zu einem Ergebnis , das er nie
erreicht hätte, wäre er streng logisch vorge-
gangen !

       

               Neue Formel für den Umfang einer Ellipse

Es gibt keine exakte Formel für die Berechnung des Umfangs U
            einer Ellipse mit den Halbachsen a und b.

In den Formelsammlungen von Bartsch (20. Auflage , S. 340)
und Stöcker (3. Auflage , S.374) stehen die Näherungsformeln :
U ≈ π (a + b +√ (2(a2 + b2)))/2 , U ≈ π ( 1.5 (a + b) - √(a b))
und U ≈ π (a + b) (64 - 3 c4) / (64 -16 c2) mit c = (a – b)/(a + b)

Rationale Interpolation zwischen den bekannten Spezialfällen
a = b : die Ellipse ist ein Kreis mit Umfang 2 π a
a = 0 : die Ellipse entartet zur „Strecke“ mit „Umfang“ 4 b
b = 0 : die Ellipse entartet zur „Strecke“ mit „Umfang“ 4 a

ergibt die neue Formel : U ≈ 4 (π a b + (a – b)2) / (a + b)

die sich positiv von den anderen Näherungsformeln abhebt !

Zunächst wurde der Umfang verschiedener Ellipsen im Intervall
0 < b < a durch numerische Integration der entsprechenden
elliptischen Integrale ermittelt. Von diesen Ergebnissen weichen
die Werte nach der neuen Formel um maximal ca. 1 % ab !

Ergebnis : alle 4 untersuchten Formeln sind für b ≈ a gleich gut ,
            die Formeln von Bartsch und Stöcker sind jedoch global
             gesehen weniger gut als die neue Näherungsformel ;
          insbesondere zeigen sie teils dramatische Abweichungen ,
             wenn eine Halbachse der Ellipse immer kleiner wird.

Die neue Formel ist die „einfachste“ ; sie liefert auch in den
kritischen Spezialfällen a = 0 bzw. b = 0 den exakten Wert.

 


     Neue Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids

Bekannte Formelsammlungen wie Bartsch , Bronstein.......
geben keine Näherungsformel für die Oberfläche O eines
Ellipsoids mit den Halbachsen a , b und c an.

Polya hat die grobe Näherungsformel O ≈ 4 π (a2 + b2 + c2) /3
angegeben die nur in der Umgebung des Spezialfalls a = b = c
einigermaßen gute Werte liefert.

Andere Näherungsformeln (zB von Knud Thomson) liefern
ebenfalls für a = b = c den richtigen Wert 4 π a2 , zeigen
aber für plattgedrückte Ellipsoide große Abweichungen.

Durch rationale Interpolation zwischen den Spezialfällen
S1: a= b= c : Ellipsoid ist eine Kugel mit Oberfläche 4 π a2
S2 : a = 0 bzw. b = 0 bzw. c = 0 : das Ellipsoid entartet
zu „plattgedrückten“ linsenförmigen Ellipsoiden mit den
„Oberflächen“ 2 π b c bzw. 2 π a c bzw. 2 π a b.

läßt sich eine sehr viel bessere bisher unbekannte globale
       hochsymmetrische Näherungsformel ermitteln :

O ≈ 2π(6abc + a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2)/(a + b + c)

Da diese Formel neu ist , wurde sie umfassend getestet :
Sie liefert insbesondere für den Extremfall a = 0 , b = c den
richtigen Wert O = 2 π b2 !

Für Rotationellipsoide (b = c) liefert numerische Integration
für die Fälle b = 0.75 a , b = 0.5 a und b = 0.25 a eine
maximale Abweichung von ca. 1 % .