Definitionen

sind in deinen Mathebüchern allgegenwärtig.
Sie haben sich weitgehend verselbständigt.
Das berechtigt zu Fragen nach dem Woher
und dem Sinn von Definitionen , auf die du
in deinen Büchern keine Antwort findest !

Definitionen sind keineswegs nur Abkürzun-
gen und Begriffserklärungen sondern ein
schöpferischer Akt !

Der antike Mathematiker Euklid versuchte
Punkte und Gerade inhaltlich zu definieren.
Heute wird darauf verzichtet zu sagen , was
Punkte und Gerade sind. Nur ihre Beziehungen
zueinander werden beschrieben. So definierte
„Punkte“ haben mit realen Punkten nichts zu
tun !
Der Preis , daß Inhalt und Bedeutung verloren
gehen ist hoch , vielleicht zu hoch , wenn es
um die Praxis geht , in der häufig und mit
Erfolg ! nicht eindeutig definierte Begriffe
benutzt werden.

Der Sohn des Bankiers Redlich fragt : “Tate
was ist eigentlich ein Kapitalverbrechen ?”
Der alte Redlich sagt : “Wenn dir dein Geld
nicht mindestens 10 % Zinsen bringt , dann
begehst du ein Verbrechen an deinem Kapital.
Das ist ein Kapitalverbrechen.

gehdefi

 

Geh zurück auf Definitionen

Wenn du bei einem Problem nicht weiter-
kommst , ist es manchmal nützlich , auf
Definitionen zurück zu gehen !

Willst du das Maximum der für natürliche
Zahlen n ( x > 0) definierten Funktion
f(n) = xn / n ! bestimmen , so versagt
das übliche Rezept über Ableitungen...
Geh auf die Definition zurück ! f(n) hat für
n = k ein Maximum , wenn f(k - 1) ≤ f(k)
und f(k) ≥ f(k + 1) ist. Durch Einsetzen
findest du , daß k ≤ x und k + 1 ≥ x sein
muß. Daraus ergibt sich z.B. für x = 12.3
der Wert k = 12.

Zeige durch Redukion auf Definition :

Das Produkt schiefsymmetrischer Matrizen
mit sich selbst ist eine symmetrische Matrix.

Das Produkt oberer Dreiecksmatrizen mit
sich selbst ist eine obere Dreiecksmatrix.

Das Produkt einer Matrix mit ihrer Trans-
ponierten ist stets eine symmetrische Matrix.

Ein sehr dünner Stab wird an zwei zufällig
ausgewählten Stellen zerbrochen. Wie groß
ist die Wahrcheinlichkeit , dass sich aus den
drei Teilstücken ein Dreieck bilden läßt ?
Anleitung : Geh von der Definition von
Laplace aus ! Betrachte einen Stab mit
vorgegebenen “Bruchstellen”

 

Bedeutung von Definitionen

Du solltest nicht mit der Bearbeitung von
Problemen anfangen , bevor du nicht die
Definitionen aller vorkommenden Größen
kennst. Andernfalls sind Mißerfolg und
Mathefrust vorprogrammiert.

Beachte : Je mehr Definitionen von Dingen
du kennst , desto wahrscheinlicher ist es ,
dass du eine davon gebrauchen kannst.
Logarithmen können zum Beispiel als
Integral , als Grenzwert , als Umkehrfunk-
tion der Exponentialfunktion....definiert
werden.

Leider ist es in Mathebüchern üblich , nur
eine Definition für bestimmte Begriffe zu
geben ; das ist kontraproduktiv !

Bevorzuge verbale und anschauliche Defi-
nitionen gegenüber formalen !

     

                     Was Mathematiker definieren können                             

Ein Ingenieur , ein Physiker und ein Mathematiker
sollen herauszufinden , wie man eine möglichst 
große Fläche mit einem möglichst kurzen Zaun
      abgrenzen könne.

Der Ingenieur schlägt einen kreisförmigen Zaun
vor und erklärt , daß  dies die beste Methode sei.

Der Physiker schlägt einen geradlinigen Zaun vor 
es gäbe keine bessere Methode , die Hälfte der
            Erde abzugrenzen.

Der Mathematiker lacht beide aus , schlägt einen
   winzigen Zaun um sich herum vor und sagt : 
           „Ich definiere , daß ich mich außen befinde !“