Hilfsgrößen als Brücke zur Lösung

Durch Einführung von Hilfsgrößen erkennst du besser ,
wie die gegebenen Daten und die gesuchte Lösung
                     zusammenhängen.

Hilfsgrößen sind wie „Krücken“ beim Problemlösen.
Sobald du zur Lösung gelangt bist , legst du die
Krücken auf die Seite. Sie sind überflüssig geworden.

Durch Einführung von Hilfsgrößen kannst du manche
Probleme ohne Spezialkenntnisse lösen : Wie groß ist
der H-C-H -Winkel im CH4 - Molekül ?

Da H-Atome identisch sind , sind die H-C-H-Winkel
alle gleich groß. Bette das Molekül in einen Würfel ein ,
wobei das C-Atom ins Zentrum und die 4 H-Atome in
4 der 8 Eckpunkte des Würfels gelangen. Jetzt kannst
du das Problem mit Hilfe der Vektorrechnung lösen.

Führe Hilfsgrößen ein , um folgende Probleme zu lösen :

Durch A(1,2,3) soll eine Gerade gleichen Abstands von
den Punkten B(4,2,3) und C(3,-1,-5) gezogen werden !

Ein Dreieck hat die Eckpunkte A(0,0) , B(5,2) , C(3,7).
Wo liegt der Mittelpunkt seines Inkreises ?

Zwei vertikale Pfähle haben die Höhen h1 und h2. Von
der Spitze jedes Pfahls wird ein Seil zum Fußpunkt des
anderen gespannt. In welcher Höhe h über dem Boden
kreuzen sich die Seile ? Führe den Abstand der beiden
Pfähle als Hilfsgröße ein ! (diese fällt am Ende wieder
heraus !). Teste dein Ergebnis für die Spezialfälle :
                     h1 = 0 , h2 = 0 und h1 = h2

         

Schatzsuche mit komplexen Zahlen

Ein Abenteurer findet eine alte Urkunde , in der die
 Lage eines Schatzes auf einer unbewohnten Insel 
(auf dieser befinden sich nur 2 Palmen A und B
sowie die Reste eines Galgens G) beschrieben ist.

Die Anweisung zur Auffindung des Schatzes lautet :
Gehe vom Galgen G zum Baum A und zähle deine
Schritte , wende dich dort um 90° nach rechts und
gehe die gleiche Strecke. Markiere den Endpunkt
A1 im Sand. Gehe zurück zum Galgenmund , gehe
zum Baum B , zähle abermals deine Schritte und 
wende dich bei B um 90° nach links bis du wieder
die gleiche Strecke gegangen bist : Markiere den
 Punkt B1 im Sand. Der Schatz ist in der Mitte 
        zwischen A1 und B1vergraben.

Der Abenteurer segelte zur Insel. Leider war der
Galgen verschwunden und die Zeit hatte alle 
Spuren getilgt. Der Mann war ratlos und kehrte
unverrichteter Dinge zurück. Er hätte den Schatz 
leicht finden können , wenn er mit komplexen
Zahlen und ihrer geometrischen Interpretation
               vertrautgewesen wäre !

Die Positionen der Bäume in der Gaußschen
 Zahlenebene seien zA , zB , zG. Der Weg von 
G nach C ist :  zG + (zA - ­zG) + j(zA - ­zG) , 
der von G nach D  zG + (zB - ­zG) ­+ j(zB -zG).
  Der Schatz liegt also bei
                   zS = (zA + zB)/2 + j(zA -­ zB)/2

Damit ein Schatzsucher etwas damit anfangen
 kann , muß er die Lösung in  die Sprache des 
       Alltags zurück übersetzen. 

Die Aufgabe ist auch , aber weniger elegant ,
mit den Hilfsmitteln von Vektoren lösbar . 

 

Hilfsgrößen Vektoren

Meistens werden Vektoren themenzentriert (mit
entsprechenden Axiomen am Anfang) und nicht
problemorientiert eingeführt. Dies führt dazu ,
daß Studierende Probleme mit Vektoren haben.

Die übliche Definition der linearen Abhängig-
keit von Vektoren ist wenig praxisgerecht.
Die Definition : Vektoren sind linear abhängig ,
wenn einer von ihnen als Linearkombination
der anderen darstellen läßt ist viel einfacher
und praxisgerechter

Ein Lichtstrahl werde an einem Katzenauge
(x-y-, x-z- und y-z-Ebene verspiegelt) reflektiert .
Zeige , daß ein an allen drei Ebenen reflektierter
Lichtsttrahl in entgegengesetzter Richtung
zurückgeworfen wird. Am einfachsten gelingt
das mit Hilfe der Vektorrechnung !
Führe es durch !

 

Die Teilung der Kamele

Ein alter Araber hatte 17 Kamele und 3
Söhne. Er vermacht seinem ersten Sohn
die Hälfte , dem zweiten ein Drittel und
dem dritten ein Neuntel seiner Kamele.

Nach dem Tode des Vaters können sich
die Söhne über die Teilung nicht einigen.

Sie gehen zum Nachbarn ; dieser sagt :
„Wie ich sehe habt ihr zum Teilen ein
Kamel zu wenig. Ich selber habe nur ein
einziges Kamel aber es steht euch zur
Verfügung. Nehmt es und teilt dann ,
und bringt mir nur , was übrigbleibt.“

Sie bedanken sich , nehmen das Kamel
mit und teilen die 18 Kamele wie im
Testament verfügt. Zu ihrem Erstaunen
bleibt ein Kamel übrig. Dieses bringen
sie , ihren Dank erneuernd , dem Nach-
barn zurück. -- Natürlich enthielt das
Testament einen Fehler ! Welchen ?