Bedeutungen

werden in der modernen Mathe weitgehend ignoriert obwohl sich viele

Menschen mehr für Dinge mit Bedeutung als für abstrakte
Symbole interessieren.

In den Cardanischen Formeln zur Lösung
kubischer Gleichungen treten auch Wurzeln
negativer Zahlen auf , denen man zunächst
keine Bedeutung geben konnte ! Das änderte
sich erst mit der Einführung komplexer Zahlen.

Mathematik ist mehrmals in der Geschichte
der Bedeutungslosigkeit anheim gefallen.
Das kann sich wiederholen , auch wenn es
Mathematiker für unwahrscheinlich halten !

Bertrand Russell sagte : “Mathe ist das einzige
Gebiet , wo wir nie die Bedeutung dessen
kennen , was wir sagen und wo wir nicht
wissen , ob das was wir sagen wahr ist“

Du hast eine größere Chance , Probleme zu
lösen, wenn du den darin vorkommenden
Größen eine Bedeutung geben kannst :

Welche Bedeutung haben a und b in den
Gleichungen x/a + y/b = 1 , x2/a2 + y2/b2 = 1 ?

Was bedeutet es , wenn die Variable y in der
Ebenengleichung x + z = 3 nicht vorkommt ?

Stirbt ein Mensch , besagt eine alte Weisheit ,
geht eine Welt von Bedeutungen verloren !

 

Die Bedeutung der Wahrnehmung

wird oft ignoriert , weil sich viele auf die
Logik verlassen. Seit Kurt Gödel wissen wir ,
daß wir mit Logik allein nicht den Ausgangs-
punkt der Wahrnehmung bestimmen können.

In Religionen ist kein Platz für Wahrnehmung.
Ihre Doktrinen muss man in einem Akt des
Glaubens annehmen. Hat man diese Doktrin
einmal akzeptiert , nimmt man die Welt nur
noch durch diesen Bezugsrahmen wahr.

David Perkins zeigt im Buch „Der zündende
Funke“ dass 90% aller Fehler auf mangel-
hafter Wahrnehmung beruhen !

Im Gegensatz zur Poesie sind Symbole und
Wörter in der Mathematik starr : Sie werden
wie Etiketten auf die Dinge geklebt und
beschränken dadurch unsere Wahrnehmung.

Du brauchst eine gute Wahrnehmung , um
Fehler zu finden und um Entdeckungen in
Mathematik zu machen !

Ein Amerikaner und ein Franzose stehen im
Louvre vor einem Bild von Toulouse-Lautrec.
Der Franzose fragt "Do you like Toulouse-
Lautrec ?" Der Amerikaner entrüstet sich :
"Oh , no no ; I don ́t like to lose anything !"

 

Die Bedeutung der Sprache

Der Mathematiker J. Hadamard hat erkannt , daß
Sprache für das Denken nicht notwendig ist.

Die Mathematiker haben versucht , die Um-
gangssprache weitgehend zu eliminieren.
Die Sprache der Mathematik ist zwar präzise
aber beziehungsarm. Wissenschaftliche Be-
griffe passen jeweils nur zu einem sehr
begrenzten Teil der Wirklichkeit.

Oft kommt es auf die Betonung jedes
Wortes an : Was heißt konsequent ?
Heute so und morgen so !
Was heißt inkonsequent ?
Heute so und morgen so !

Kinder brauchen nur wenige Jahre , um die
Bedeutung vieler Wörter zu lernen. Keiner
weiß bis heute, wie dieser rasante Lern-
prozeß abläuft. Die Erklärung der Verhaltens-
psychologen (Skinner und andere) ist sicher
unbefriedigend. Noam Chomski vermutet ,
dass die grundlegene Grammatik im Gehirn
verankert ist.

 

Die Bedeutung der Zeit

Schon Augustinus klagte : ”Was ist Zeit ?
Wenn mich keiner danach fragt , weiß ich ́s ;
will ich ́s aber einem Fragenden erklären ,
weiß ich ́s nicht.”

Obwohl Stefan Hawking eine Geschichte
der Zeit geschrieben hat , wissen auch die
Physiker bis heute nicht genau , was Zeit
eigentlich ist. Fest steht nur , dass denken
Zeit braucht und sie bei der Lösung von
Problemen eine große Rolle spielt.

In Klausuren wird oft ein Zeitrahmen
für die Lösung der gestellten Aufgaben
angegeben angegeben. Vielleicht hast du
eine eigene Meinung ob das sinnvoll ist.

Manche Erkenntnisse (nicht nur in der
Physik) sind recht kurzlebig : die mittlere
Lebensdauer des Neutrons „betrug“ bis
zum Jahre 1970 ca 1000s , ab1980 nur
noch ca 900 s !!

 

Bedeutung mathematischer Sätze

Über die Nützlichkeit mathematischer Sätze
gibt es verschiedene Meinungen ! Ein Nutzen
(der allerdings in deinen Büchern nicht thema-
tisiert wird) ist unbestritten : sie helfen uns ,
Berechnungen zu kontrollieren !

Beispiel : In der Ausgleichsrechnung werden
Matrizen A mit ihrer transponierten Matrix AT
multipliziert. Sowohl AT A als auch A AT
müssen symmetrisch sein !

Der Punkt P liege im Inneren eines gleichsei-
tigen Dreiecks ABC. Die Lote von P auf jede
Seite treffen diese in den Punkten D, E und F.
Wo muß P liegen , damit PD + PE + PF ein
Maximum bzw.ein Minimum wird ? Recht-
fertige deine Antworten !

 

 Die Bedeutung der Unschärferelationen

Die Unschärferelationen sind eine der wichtigsten Entdeckungen
der Physik : Je genauer z.B. der Ort eines Teilchens bekannt ist ,
desto weniger ist seine Geschwindigkeit bekannt und umgekehrt.
Das liegt nicht an der Unvollkommenheit der Meßinstrumente.

Obwohl die Unschärferelationen ein universell gültiges Prinzip
zu sein scheinen , ist bisher wenig über deren Konsequenzen für
die Lehre und das Lösen von Problemen nachgedacht worden !

Es ist eine Erfahrungstatsache , daß sich viele Probleme leichter
lösen lassen , wenn man zunächst vom Ideal der Exaktheit etwas
abrückt ! So lassen sich die Differentialgleichungen der Physik
                              nicht exakt herleiten !

Am Anfang einer Problemlösung ist Kreativität gefragt : es darf
auf Präzision und Logik zunächst nur wenig Wert gelegt werden !
Erst wenn eine Lösungsidee da ist , muß die Präzision (Exaktheit)
                  allmählich gesteigert werden !

Die Tatsache , daß du nicht beides gleichzeitig haben kannst -
Kreativität und Exaktheit - kommt in der Unschärferelation für
             das Problemlösen zum Ausdruck :


(Kreativität) (Exaktheit) ~ const (personenbezogen !)

Henri Poincaré sagte dazu : „Wir beweisen mit der Logik ,
                                 aber wir erfinden mit der Intuition”

Ein entsprechende Unschärferelation gilt für die Lehre :


(Vermittelbarkeit) (Exaktheit) ~ const (personenbezogen)

Beide “Gleichungen” sind nur plakative Vereinfachungen !

Albert Einstein sagte dazu : „Ich bin froh , daß ich die
  Infinitesimalrechnung aus einem Buch gelernt habe ,
   das es mit der Strenge nicht allzu genau nahm“