Alternativen

sind nicht nur im Alltag wichtig ! Der Volks-
mund sagt : Hänge nicht alles an einen Nagel !

Es braucht nicht besonders betont zu werden :
wenn du Alternativen hast , bist du (nicht nur
in Klausuren) im Vorteil gegenüber anderen ,
die sie nicht haben.

Der Rabbi fragt : “Was ist dir lieber , drei
Töchter oder drei Millionen ?“
„Blöde Frage ! Natürlich drei Millionen“
„Falsch , mit drei Töchtern hast du genug !“

 

Alternative Ableitungen

Durch die Gleichung F(x,y) = 0 definierte implizite
Funktionen kannst du nach der Formel
dy/dx = - (∂ F/∂x) / (∂ F/∂y) ableiten.

Einfacher und schneller geht es oft , wenn du direkt
in die Gleichung F(x,y) = 0 hineindifferenzierst !

Beispiel : aus F(x,y) = x2 - y3 =0 erhältst du durch
hineindifferenzieren sofort : 2 x - 3 (dy/dx) y2 = 0 !

 

Das Uhrzeigerproblem

Wann nach 12 Uhr stehen der Stunden- und der
Minutenzeiger einer Analoguhr zum ersten Mal
wieder genau übereinander ?

Du hast die Wahl zwischen etlichen Alternativen :
Du gehst von einer Schätzung aus : 5 min nach
13 Uhr stehen der Minuten- und der Stundenzeiger
beinahe übereinander. Du kannst die Näherung
schrittweise verbessern.

Du gehst von den Winkelgeschwindigkeiten der
Zeiger aus und berechnest in welcher Zeit der
Minutenzeiger den Stundenzeiger wieder einholt
(gleiche Winkelstellung !).

Du überlegst , wie oft der Minutenzeiger den
Stundenzeiger in 12 Stunden überholt : es sind
genau 11 mal ! Da das Überholen in regelmäß-
igen Zeitabständen stattfindet ist klar , daß es
das erste Mal nach 12/11 Stunden stattfindet.

 

Alternative Integration

Willst du das Integral I = ∫x2 sin(x/2) dx
durch mehrfache partielle Integrationen
bestimmen , hast du eine lange (fehler-
trächtige) Rechnung vor dir !
Aus morphologischen Gründen hat I die
Gestalt a x sin (x/2) + (b + c x2) cos(x/2) !
Die Koeffizienten a, b, c kannst du aus der
Bedingung dI/dx = x2 sin(x/2) bestimmen :
a = 8 , b = 16 , c = - 2.

 

Alternativen Grenzwerte

In deinen Mathebüchern wirst du auf die Regel
von Bernouilli - l ́Hospital hingewiesen , wenn
du Grenzwerte uneigentlicher Ausdrücke
bestimmen willst.

Zur Bestimmung des Grenzwerts der Funktion
x (1 - cos x) / sin3 x für x → 0 mußt du obige
Regel dreimal anwenden. Mit entsprechendem
Fehlerrisiko !

Einfacher geht es , wenn du den Zähler und
Nenner des Bruches in eine Reihe entwickelst :
1- cox = 1- x2/2 + ... , sin3x = (x – x3/6..)3 =
x3 – x6 /3 ...

 

Alternativen in Vektorrechnung

Statt fehleranfällige Vektorprodukte im Ausdruck
(a x b ) (c x d ) zu berechen , ist es viel einfacher ,
den äquivalenten Ausdruck (a c ) (b d) - (a d) (b c)
mit nur einfachen Skalarprodukten zu bestimmen !

Statt das Vektorprodukt (a x b) x c für die Vektoren
a , b und c berechen , ist es einfacher und weniger
risikoreich , den äquivalenten Ausdruck
(a c) b – (b c) a zu berechnen , bei dem nur Skalar-
produkte zu bilden sind.

 

Ein Entscheidungsproblem

Auf einem Tisch liegen drei Lose : 1 Gewinn
und 2 Nieten. Als du dich gerade für eines der
Lose entschieden hast , nimmt eine andere
Person ein Los ; zu deiner Erleichterung ist es
eine Niete. Was solltest du tun ? Sollst du bei
deiner ursprünglichen Wahl bleiben , oder
dich für das andere Los entscheiden ?

Obwohl es auf den ersten Blick keine Rolle
spielt verdoppelst du deine Gewinnchance ,
wenn du deine Entscheidung änderst ! Fast
nicht zu glauben !?

Probiere es mit einem Freund aus : Führe
20 Versuche durch : Der Freund soll zuerst
wählen. Wir nehmen an , daß du die Posi-
tion des Gewinnloses kennst und jedesmal
(vor dem Freund) eine Niete ziehst. Der
Freund soll dabei nach zwei Strategien
verfahren : einmal bleibt er bei der ursprün-
glichen Wahl , das andere Mal nicht !